A resposta é não. Esse é um exemplo clássico do método da Descida de Fermat.
Primeiro, note que a equação pode ser reescrita da forma a² + b² = 3(c² + d²) (*), onde a, b, c, d são inteiros não nulos. É fácil provar que se a² + b² é múltiplo de 3, então a e b são múltiplos de 3 (verifique que apenas 0 e 1 são resíduos quadráticos módulo 3). Disso conclui-se que a = 3a', b = 3b'. Logo, simplificando obtemos c² + d² = 3(a'² + b'²), que é justamente da forma (*), ou seja, podemos fazer o passo da linha acima infinitas vezes, o que é um absurdo pois a, b, c, d possuem um número finito de fatores iguais a 3. Abraços, Sávio.