A resposta é não.
Esse é um exemplo clássico do método da Descida de Fermat.

Primeiro, note que a equação pode ser reescrita da forma a² + b² = 3(c² +
d²) (*), onde a, b, c, d são inteiros não nulos.
É fácil provar que se a² + b² é múltiplo de 3, então a e b são múltiplos de
3 (verifique que apenas 0 e 1 são resíduos quadráticos módulo 3).
Disso conclui-se que a = 3a', b = 3b'. Logo, simplificando obtemos c² + d² =
3(a'² + b'²), que é justamente da forma (*), ou seja, podemos fazer o passo
da linha acima infinitas vezes, o que é um absurdo pois a, b, c, d possuem
um número finito de fatores iguais a 3.

Abraços,
Sávio.

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