Prova 1.
Admitamos que f seja Lipschitz em [0, oo). Existe, então, uma constante k > 0
tal que |f(x) - f(y)| <= k |x - y| para todos x e y em [0, oo).
Particularmente, temos que |f(x) - f(0)| <= k|x - 0|, de modo que |f(x)| < k
|x| para todo x >= 0. Assim, para x > 0, temos que k > |f(x)/x| = 1/raiz(x) .
Mas como 1/raiz(x) --> oo quando x -- 0+, segue-se que nenhum k real pode
satisfazer a tal condição. Temos, assim, uma contradição que mostra que f não é
Lipchitz em [0, oo).
Prova 2
Sabemos que uma função derivável f é Lipschitz em um intervalo I (limitado ou
não) se, e somente se, f' for limitada em I (neste caso, k = infimo {|f'(x)| |
x está em I} é a menor constante de Lipschitz de f em I). f(x) = raiz(x) é
derivável em [0, oo) mas f'(x) = 1/(2raiz(x)) vai para oo quando x tende a 0+.
Logo, f não é Lipschitz em [0, oo). Entretanto, f' é limitada em qualquer
intervalo do tipo [a, oo), a >0, de modo que f é Lipschitz em tais intervalos.
Artur
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Adriano Dutra Teixeira
Enviada em: terça-feira, 16 de setembro de 2008 13:29
Para: [email protected]
Assunto: [obm-l] Função de Lipchitz
Olá, Alguém poderia me ajudar a mostar que se:
f:[0,infinito)->R ; f(x)=raiz quadrada de x
=> f Não é de Lipchitz.
Desde já obrigado
Adriano.
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