Isso que se estah discutindo eh consequencia do Teorema das Raizes Racionais:
Seja P(x) = a_0 + a_1x ...+ a_n x^n um polinomio de coeficientes inteiros. Se o racional r = p/q, onde p e q <> 0 sao inteiros primos entre si, for raiz de P, entao p divide a_0 e q divide a_n. Uma possivel prova eh a seguinte: Suponhamos, inicialmente, para facilitar, que r seja um inteiro. Como r eh raiz de P, temos que existe um polinomio Q tal que P(x) = (x - r) Q(x). Como os coeficientes de P sao inteiros e o de x no binomio x - r eh 1, o algoritmo de Briot/Ruffini implica que todos os coeficientes de Q sejam inteiros. Fazendo-se x = 0, obtemos P(0) = a_0 = -r Q(0). Q(0) eh o termo independente de Q e, desta forma, eh um inteiro. Como a_0, r e Q(0) sao inteiros, a igualdade a_0 = -r Q(0), implica automaticamente que r divida a_0 (se r = 0 entao a_0 = 0 e aconclusao eh trivial). Isto prova o teorema para o caso em que r eh inteiro. Consideremos, agora, o caso geral em que r = p/q, podendo-se ter |q| > 1. Como p/q eh raiz de P, substituindo-se p/q na expressao de P e fazendo-se umas manipulacoes simples, obtemos a_0q^n + a_1 p q^(n -1) ....+ a_n p^n = 0. Isto nos mostra que q é raiz do polinomio S(x) = a_0 x^n + a_1 p x....+ a_n p^n, cujos coeficientes sao todos inteiros. Em virtude da conclusao anterior, segue-se que q divide o termo independente de S, ou seja q divide a_n p^n. Mas como mdc(p,q) =1,q nao divide p^n, o que implica que divida a_n. Por um raciocinio similar, temos que p eh raiz de um polinomio de coeficiente inteiros cujo termo independente eh a_0 q^n. Logo, de novo por um raciocinio similar, vemos que p divide a_0. Isto completa a prova. Conforme jah vimos, se r for inteiro - caso do problema do colega- r divide o termo independente. Artur [Artur Costa Steiner] -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bouskela Enviada em: terça-feira, 16 de setembro de 2008 15:24 Para: [email protected] Assunto: Re: [obm-l] Como resolve ????? Bem..., tenho que admitir: Você tem razão... Mas basta aplicar o método para a divisão de polinômios proposto por Briot-Ruffini (*) para mostrar facilmente que os coeficientes de q(x) são todos inteiros. (*): p(x)=q(x)(x-alfa) , sendo "alfa" uma das raízes inteiras de p(x) . Aliás, esse tal de Ruffini era mesmo esperto: mostrou que não há solução analítica para equações de grau superior ou igual a 5. Obrigado pela lembrança! Sds., 2008/9/16 Bernardo Freitas Paulo da Costa < [EMAIL PROTECTED]<mailto:[EMAIL PROTECTED]>> Cara, eu acho que a solução está certa, mas falta um detalhe... e pouco trivial na minha opinião : 2008/9/16 Bouskela < [EMAIL PROTECTED]<mailto:[EMAIL PROTECTED]>>: > Se "alfa" é raiz de "p(x)" , então "p(x)" é divisível por "(x – alfa)" . Certo, mas em que sentido de divisível ? O que a gente pode dizer é que o polinômio tem raízes complexas, e portanto esta tal divisibilidade se dá em C[X]. Bom, como alpha é inteiro (e logo real), a gente pode fazer um pouco melhor (porque as raízes complexas vindo aos pares, o que sobra é sempre um polinômio com coeficientes reais), e conseguir R[X]. Daí, é um pulinho pra Q[X], porque é só "fazer as contas" e ver que o polinômio tem que ter coeficientes racionais (mas nada sabemos, ainda, sobre o denominador) > Logo, existe um polinômio "q(x)" , tal que "(x – alfa).q(x) = p(x)" . Exatamente, mas qual é a cara deste polinômio que é a questão : a discussão acima mostra que os coeficientes de q(x) são racionais. > Obviamente, o grau de "q(x)" é igual a "n–1" . Claro ! > Seguindo sua notação: seja q(x) = b0.x^(n–1) + b1.x^(n–2) + ... + bn–1 > O termo independente de "(x – alfa).q(x)" é "–(bn–1).alfa" . > Como "(x – alfa).q(x) = p(x)" , este termo independente é igual ao termo > independente de "p(x)", i.e., "an" . > Logo: an = –(bn–1).alfa ; logo: an/alfa = –bn–1 . > Como "bn–1" é inteiro, "alfa" é divisor de "an" . Esta é a parte difícil (ao meu ver) do problema... Provar que se um polinômio a coeficientes inteiros divide outro, também a coeficientes inteiros, dando um quociente racional e resto zero, ENTÃO o quociente tem coeficientes inteiros também. Repare que este resultado, mesmo que pareça "óbvio", não é tão fácil assim de demonstrar : os coeficientes dos dois polinômios poderiam "conspirar" para dar um produto com coeficientes inteiros, mas algum de origem ter uma fração. Esse resultado é tão importante, que tem até nome ! > 2008/9/16 Robÿffffe9rio Alves < [EMAIL PROTECTED]<mailto:[EMAIL PROTECTED]>> >> >> Suponha que p(x) = a0.x^n + a1.x^n-1 ? ... + an-1.x + an seja um polinomio >> de grau n, com coeficientes inteiros, isto é, a0 diferente de 0, a1, a2, >> ..., an são números inteiros. Seja ( alfa ) um número inteiro. Prove que se >> ( alfa ) for raiz de P(x), en~~ao (alfa ) será um divisor do termo >> independente an. >> >> Como faz ??? > > -- > Saudações, > AB > [EMAIL PROTECTED]<mailto:[EMAIL PROTECTED]> > [EMAIL PROTECTED]<mailto:[EMAIL PROTECTED]> > Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= -- Saudações, AB [EMAIL PROTECTED]<mailto:[EMAIL PROTECTED]> [EMAIL PROTECTED]<mailto:[EMAIL PROTECTED]>
