Rogerio:
Encontrei o gato atrás da sua solução relativa ao problema da área varrida pela porta. Na verdade, tinha que ser um gatinho para justificar um erro de apenas 4% - veja abaixo: Faltou "escalar" de volta o comprimento da porta... Como na verdade a porta tem comprimento "L", a solucao real vale AREA VARRIDA = 3*Pi/32 * L**2 []'s Rogerio Ponce 2008/9/18 Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>: > Olá Bouskela e colegas da lista, > eu esperava uma solucao um pouco mais "geometrica" que "analitica", > mas como ninguem se manifestou, vamos la'... > > Vamos imaginar que a porta, com comprimento 1, "deslize" sobre os > eixos X e Y, de modo que ela comeca na posicao vertical (alinhada com > Y), ate' atingir a posicao horizontal, alinhada com o eixo X. Assim, > uma das suas extremidades "PY", apoiada em Y, comeca em y=1 e desliza > ate' y=0, enquanto a outra extremidade "PX", apoiada em X, comeca em > x=0 e desliza ate' x=1. > > Suponhamos entao que, num determinado momento, PY esteja no ponto > A=(0,y), e que PX esteja no ponto B=(x,0). > Um instante depois, ela estara' com PY no ponto C=(0,y+dy) enquanto PX Achei um primeiro gatinho: C=(0, y-dy) , mas é só um fantasma de um gatinho... O erro não se propagou... > estara' em D=(x+dx,0) Chamemos de P a intersecao entre os dois > segmentos, e seja "h" a sua coordenada em Y (altura do triangulo PBD). > > Assim, a area total sera' o somatorio das areas formadas pelos > sucessivos triangulos PBD, 'a medida em que x varia de 0 ate' 1. > > Este me parece justamente o ponto interessante dessa abordagem, pois > se afasta da associacao quase automatica que fazemos entre "area > total" e "fatias verticais" sob uma curva. Aqui neste caso, as nossas > "fatias" sao triangulos, com base "dx" e altura "h". > > Partindo para as contas... > > A qualquer instante, as coordenadas variaveis de P_X e P_Y obedecem a > x**2 + y**2 = 1 > Diferenciando-se, obtemos > -dy / dx = x / y > > Aplicando lei dos senos aos triangulos APC e PBD, obtemos: > CP / sinA = -dy / sinP > PD / sinB = dx / sinP > > Dividindo-se uma equacao pela outra, e observando que sinB/sinC = y/x, vem: Achei um segundo gatinho: sinB/sinA = y/x , mas, novamente, é só um fantasma de um gatinho... Apenas um erro de digitação! As equações seguintes estão corretas! > CP/PD * y/x = -dy/dx = x/y > ou seja, > CP/PD = x**2 / y**2 > Assim, > (CP + PD) / PD = (x**2 + y**2) / y**2 > ou > PD = y**2 > > Mas , por semelhanca de triangulos, h/PD = y/1 Assim, h = y**3 = > (1-x**2) ** (3/2) Finalmente, aqui está o bichano: h/PD = (y - dy)/1 . Repare que os triângulos semelhantes são (P Px D) e (C O D), sendo Px a projeção de P no eixo X e AC = dy . Os triângulos (P Px D) e (A O B) NÃO são semelhantes! Bem, isto acarreta uma não-linearidade na sua solução, bem chata de ser resolvida! > > Dessa forma, a area total equivale 'a integral de (h*dx/2) em x=[0,1], > ou seja, integral de [ 1/2 * (1-x**2) ** (3/2) ] * dx , em x=[0,1]. > > Resolvendo-se a integral, obtemos > AREA VARRIDA = 3*Pi / 32 = 0.294524 > > []'s > Rogerio Ponce
