Ola' Bouskela, em relacao aos supostos "gatinhos" da minha solucao, tenho a dizer que nao vejo nenhum. Vejamos o "primeiro" deles: se o ponto C "acontece" depois de "A", entao C=y+dy . Note que dy é negativo.
O "segundo" foi de fato um erro de digitacao, que obviamente desapareceu nas equacoes seguintes, conforme voce mesmo reparou. O "terceiro" , que voce apontou como sendo um erro, foi o seguinte: h/PD = (y - dy)/1 Mas quanto voce acha que vale h/PD ? A resposta e' justamente "y" , que foi o que escrevi. (pense sobre o porque disso estar correto). Ja' em relacao a sua solucao, embatuquei logo no inicio: de onde voce tirou que a intersecao daquela perpendicular com a porta ( o ponto "P" ) pertenceria 'a envoltoria? Isso de fato acontece em tres pontos particulares (no inicio, no meio, e no final da curva) mas nao vejo nenhuma razao que apoie a "extensao" dessa caracteristica para os outros pontos da curva. Gostaria que voce explicasse essa passagem. Grande abraco, Rogerio Ponce. ------------------------------ Em 19/09/08, Bouskela<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Rogerio: > > > > Encontrei o gato atrás da sua solução relativa ao problema da área varrida > pela porta. Na verdade, tinha que ser um "gatinho" para justificar um erro > de apenas 4% - veja abaixo: > > > > Faltou "escalar" de volta o comprimento da porta... > > Como na verdade a porta tem comprimento "L", a solucao real vale > > AREA VARRIDA = 3*Pi/32 * L**2 > > []'s > > Rogerio Ponce > > > > 2008/9/18 Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>: > > > >> Olá Bouskela e colegas da lista, > > > >> eu esperava uma solucao um pouco mais "geometrica" que "analitica", > >> mas como ninguem se manifestou, vamos la'... > >> > >> Vamos imaginar que a porta, com comprimento 1, "deslize" sobre os > >> eixos X e Y, de modo que ela comeca na posicao vertical (alinhada com > >> Y), ate' atingir a posicao horizontal, alinhada com o eixo X. Assim, > >> uma das suas extremidades "PY", apoiada em Y, comeca em y=1 e desliza > >> ate' y=0, enquanto a outra extremidade "PX", apoiada em X, comeca em > >> x=0 e desliza ate' x=1. > >> > >> Suponhamos entao que, num determinado momento, PY esteja no ponto > >> A=(0,y), e que PX esteja no ponto B=(x,0). > >> Um instante depois, ela estara' com PY no ponto C=(0,y+dy) enquanto PX > > > > Achei um primeiro gatinho: C=(0, y-dy) , mas é só um fantasma de um > gatinho... O erro não se propagou... > > > >> estara' em D=(x+dx,0) Chamemos de P a intersecao entre os dois > >> segmentos, e seja "h" a sua coordenada em Y (altura do triangulo PBD). > >> > >> Assim, a area total sera' o somatorio das areas formadas pelos > >> sucessivos triangulos PBD, 'a medida em que x varia de 0 ate' 1. > >> > >> Este me parece justamente o ponto interessante dessa abordagem, pois > >> se afasta da associacao quase automatica que fazemos entre "area > >> total" e "fatias verticais" sob uma curva. Aqui neste caso, as nossas > >> "fatias" sao triangulos, com base "dx" e altura "h". > >> > >> Partindo para as contas... > >> > >> A qualquer instante, as coordenadas variaveis de P_X e P_Y obedecem a > >> x**2 + y**2 = 1 > >> Diferenciando-se, obtemos > >> -dy / dx = x / y > >> > >> Aplicando lei dos senos aos triangulos APC e PBD, obtemos: > >> CP / sinA = -dy / sinP > >> PD / sinB = dx / sinP > >> > >> Dividindo-se uma equacao pela outra, e observando que sinB/sinC = y/x, > vem: > > > > Achei um segundo gatinho: sinB/sinA = y/x , mas, novamente, é só um > fantasma de um gatinho... Apenas um erro de digitação! As equações seguintes > estão corretas! > > > >> CP/PD * y/x = -dy/dx = x/y > >> ou seja, > >> CP/PD = x**2 / y**2 > >> Assim, > >> (CP + PD) / PD = (x**2 + y**2) / y**2 > >> ou > >> PD = y**2 > >> > >> Mas , por semelhanca de triangulos, h/PD = y/1 Assim, h = y**3 = > >> (1-x**2) ** (3/2) > > > > Finalmente, aqui está o bichano: h/PD = (y - dy)/1 . Repare que os > triângulos semelhantes são (P Px D) e (C O D), sendo Px a projeção de P no > eixo X e AC = dy . Os triângulos (P Px D) e (A O B) NÃO são semelhantes! > Bem, isto acarreta uma não-linearidade na sua solução, bem chata de ser > resolvida! > > > >> > >> Dessa forma, a area total equivale 'a integral de (h*dx/2) em x=[0,1], > >> ou seja, integral de [ 1/2 * (1-x**2) ** (3/2) ] * dx , em x=[0,1]. > >> > >> Resolvendo-se a integral, obtemos > >> AREA VARRIDA = 3*Pi / 32 = 0.294524 > >> > >> []'s > >> Rogerio Ponce > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
