2008/10/6 Gustavo Simoes Araujo <[EMAIL PROTECTED]>: > Ola Pessoal, > > Eu não estou conseguindo provar que se existem dois endomorphisms que > comutam f e g, dado um vetor proprio u de f, este sera também um vetor > proprio de g. Sera que alguém poderia me dar uma mão ? Olha, o que é f e g comutarem ? (suponho que os teus endomorphismos sejam lineares e o mais, pra você falar de autovetores) E que f(g(x)) = g(f(x)) pra todo x. E o que é u ser um autovetor (ou vetor proprio) de f ? é f(u) = ku.
Bom, escreva isso com matrizes (acho que é o teu caso), para simplificar a notaçao : AB = BA e Au = ku. Bom, o que a gente pode conseguir com isso (e so isso que o enunciado deu...) ? O que da pra fazer é o seguinte : ABu = BAu = Bku = kBu. Ou seja, Bu é também um autovetor de A, com mesmo autovalor. E, consequentemente, BBBB...Bu também é vetor proprio de A. E claro que a mesma coisa funciona com Bv = lv e dai AA...Av continua sendo autovetor de B com autovalor l. Em linguagem super-cheia-de-nomes, "os auto-espaços de uma matriz sao estaveis por multiplicaçao pela outra matriz". Os auto-espaços sao Ker(A - kId) para todos os k e você ja deve ter visto que eles sao realmente sub-espaços vetoriais (se nao, mostre isso, é facil e importante). Um pouco mais de trabalho mostraria que se ambas sao diagonalizaveis, entao elas sao diagonalizaveis numa mesma base (o que é praticamente o que você quer, mas você nao disse que elas eram as duas diagonalizaveis, e você quer mais do que esta base, que é em geral o maximo que se pode ter). Bom, porque eu vou parar aqui ? Porque nao da pra fazer nada muito melhor : se f = Identidade, entao é claro que todos os u sao autovetores de f. E também é verdade que f comuta com *qualquer* g que você quiser, por definiçao da identidade. Ora, g nao precisa ter todos os vetores como autovetores (o que acontece na maior parte dos casos é ter apenas n autovalores, um pra cada direçao de um autovetor), e na verdade, g nao precisa sequer *ter* autovetores e mesmo assim continuara comutando com f. Dai, acho que isso é um bom contra-exemplo de que é necessario um pouco mais de hipoteses. E também, porque eu estou sem tempo de demonstrar a parte da "mesma base de autovetores" que talvez seja o que você quer, e demora um pouco mais (mas a primeira observaçao, dos tais subespaços invariantes, é importante) > Abraços, > > -- > Gustavo Simões Araújo Um grande abraço, e boa Algébra Linear ! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
