Aqui vai uma solução.
Temos cinco tipos (pesos) de queijo.
Pesos dos queijos pesados aos pares: 20, 24, 30, 35, 36, 40, 41, 45 e 51.
Como C(5,2) = 10, e só aparecem nove números para os pesos dos pares de
queijo, dois pares têm o mesmo peso.
Observemos também que dentre os nove números, quatro deles são ímpares.
Dados cinco números inteiros, temos seis possibilidades para o número
da soma de dois deles ser ímpar:
(i) nenhum ímpar e cinco pares: nenhuma soma ímpar;
(ii) um ímpar e quatro pares: 4 somas ímpares;
(iii) dois ímpares e três pares: 6 somas ímpares;
(iv) três ímpares e dois pares: 6 somas ímpares;
(v) quatro ímpares e um par: 4 somas ímpares;
(vi) cinco ímpares e nenhum par: nenhuma soma ímpar.
Portanto, para se obter quatro somas ímpares, quatro dos pares dos
queijos têm a mesma paridade.
Sejam x_1, x_2, x_3 e x_4 os pesos com a mesma paridade e d o peso de
paridade diferente.
Então, d+x_1, d+x_2, d+x_3 e d+x_4 são todos números ímpares.
Igualando essas somas com os pesos ímpares, obtemos:
d + x_1 = 35
d + x_2 = 41
d + x_3 = 45
d + x_4 = 51
Segue que
x_1 + x_2 = 76 – 2d
x_1 + x_3 = 80 – 2d
x_1 + x_4 = 86 – 2d
x_2 + x_3 = 86 – 2d
x_2 + x_4 = 92 – 2d
x_3 + x_4 = 96 – 2d
Observando as somas x_i + x_j acima, vemos que se d é ímpar,
quatro dessas somas são da forma 4k+2 e duas da forma 4k;
se d é par, obtemos quatro somas da forma 4k e duas da forma 4k+2.
Como quatro dos pesos dos pares de queijos são da forma 4k, devemos ter
que d é par e:
x_1 + x_2 = 76 – 2d = 20
x_1 + x_3 = 80 – 2d = 24
x_2 + x_4 = 92 – 2d = 36
x_2 + x_3 = 96 – 2d = 40
e
x_1 + x_4 = 86 – 2d = 30
x_2 + x_3 = 86 – 2d = 30
Segue que *d = 28*.
Substituindo d = 28 nas equações abaixo
d+x_1 = 35
d+x_2 = 41
d+x_3 = 45
d+x_4 = 51
obtemos os outros valores: x_1 = 7, x_2 = 13, x_3 =1 7 e x_4 = 23.
arkon escreveu:
Pessoal, essa é cascuda, alguém pode resolver, por favor.
*O senhor Fondi é realmente um sujeito muito estranho. Certo dia, foi
a uma casa de queijos e pediu:*
*- Quero um queijo que pese 31 kg, pois hoje estou completando 31 anos!*
*O vendedor, muito educadamente, respondeu:*
*- Sinto muito senhor, mas o maior queijo que temos não chega a 31 kg.*
*- Pois bem, quero dois queijos que juntos pesem 31 kg.*
*O vendedor, querendo satisfazer o desejo do senhor Fondi, buscou os
cinco maiores queijos da casa. Ele sabia que todos os queijos pesavam
um número inteiro de quilogramas. Pesou os queijos aos pares, fazendo
todas as combinações possíveis, e encontrou os seguintes resultados
diferentes: 20kg, 24kg, 30kg, 35kg, 36kg, 40kg, 41kg, 45kg e 51kg.*
*Assim, infelizmente, o desejo do senhor Fondi não pôde ser
atendido.*< /p>
*Calcule o número de quilogramas do queijo mais pesado.*
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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