Olá, novamente.
Há um erro no valor da aproximação da raiz quadrada de 2: é 1,414.
Tens dois caminhos pra seguir (pelo menos que percebo agora):
1ª solução:
O triângulo ABC possui, com as aproximações dadas, lados AB = 100sqrt(2), BC =
x e AC = 100sqrt(3) - x, já que AC + BC = 100sqrt(3). Portanto, semelhante ao
triângulo retângulo de hipotenusa sqrt(2) e catetos y e sqrt(3) - y. Logo, pelo
teorema de Pitágoras, encontra-se y a partir da equação 2y^2 - 2ysqrt(3) + 1 =
0, obtendo-se dois valores: [sqrt(3) + 1]/2 e [sqrt(3) - 1]/2. Como se deseja o
menor valor possível do ângulo (agudo) BAC, deve-se impor menor BC possível, a
saber, 100x[sqrt(3) - 1]/2. Por conseguinte, já com essa última
condicionante, sen (BAC) = {[sqrt(3) - 1]/2}/sqrt(2) = [sqrt(6) - sqrt(2)]/4,
de que se conclui BAC = 15º (60º - 45º, por exemplo).
2ª solução:
Com as mesmas notações da solução precedente, pode-se proceder sem necessidade
de determinar os lados do triângulo. Basta notar que sen (BAC) = y/sqrt(2) e
cos (BAC) = [sqrt(3) - y]/sqrt(2). Somando: sen (BAC) + cos (BAC) =
sqrt(3)/sqrt(2), ou seja, sen (pi/4 + BAC) = sqrt(3)/2 = sen (pi/3) (é só usar
a identidade sen x + cos x = sqrt(2).sen (x + pi/4). Enfim, BAC + pi/4 = pi/3 +
2kpi ou pi - [BAC + pi/4] = pi/3 + 2kpi, com k inteiro. Como BAC deve ser
agudo, necessariamente BAC = pi/3 - pi/4 ou BAC = 3pi/4 - pi/3. Uma vez que BAC
é mínimo, conclui-se que BAC = pi/3 - pi/4 = 15º.
Até mais,
Márcio Pinheiro.
P.S.: Já sei de onde vieram as questões.
--- Em qua, 5/11/08, Rhilbert Rivera <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: Rhilbert Rivera <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] Menor ângulo
Para: [email protected]
Data: Quarta-feira, 5 de Novembro de 2008, 12:39
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Uma ajudinha por favor:
1) Três estradas retilíneas devem conectar os pontos A, B e C. Sabe-se que a
distância entre A e B é igual a 1414m, que o ângulo ACB deve ser reto e que o
comprimento total do percurso ACB deve ser de 1732m. Nestas condições,
considerando sqrt[2]=1,4114 e sqrt[3]=1,732, o menor ângulo BAC possível deve
medir, graus, exatamente
a) 15 b)10 c) 5 d) 20 e)30
Observação:
Sqrt[n] - raiz quadrada de n
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