Vou contar do jeito do Ponce, supondo que ABCD=BCDA por rotação. Para mim
ficou fácil quando eu desisti de tentar sair em uma linha contando tudo dum
jeito só. Isto é, dividindo em casos distintos, fica mais fácil. Vamos lá:
CASOS: podemos escolher n=2, 3 ou 4 cores distintas para pintar o círculo.
(Já que com uma cor só não dá)
n=2: C(x,2)=x(x-1)/2 escolhas de cor. Escolhidas A e B, há apenas um jeito:
ABAB=BABA (já que AABB não vale).
n=3: C(x,3) escolhas de cor. Escolha a cor que vai repetir, digamos, A -- há
3 opções para tanto. Agora está definido: tem que ser ABAC=ACAB (pois AABC
não vale).
n=4: C(x,4) escolhas de cor. Ponha a cor A em algum lugar para "ancorar" um
setor, e há 3! maneiras de permutar as outras. Literalmente: ABCD, ABDC,
ACBD, ACDB, ADBC, ADCB.
Total: T=C(x,2)+3C(x,3)+6C(x,4)=x(x-1)(x^2-3x+4)/4
Testemos alguns valores para ver se parece ok:
x=0,1 dá T=0;
x=2 dá T=1 (ABAB);
x=3 dá T=6 (ABAB, ACAC, BCBC, ABAC, BABC, CACB);
x=4 dá T=24 (C(4,2)=6 com 2 cores, C(4,3).3=12 com 3 cores e aquelas 6 com 4
cores)
Mais ainda, T(x) é o único polinômio de grau 4 que passa por esses 5 pontos,
então deve estar certo. :)
Abraço,
Ralph
P.S.: Se a gente supuser que os setores são distintos (sei lá, numerados ou
algo assim), o mesmo método dá:
2C(x,2)+4.3.C(x,3)+4!.C(x,4)=x(x-1)(x^2-3x+3)
P.S.2: E se o disco for de acrílico transparente, de maneira que não dá para
distinguir seus dois lados (ou se ambos os lados serão pintados com as
mesmas cores), a resposta muda, pois então teríamos ABCD=ADCB se você
**virar** o disco! Aí ficaria:
T=C(x,2)+3C(x,3)+3C(x,4)=...
2008/12/12 Rogerio Ponce <abrlw...@gmail.com>
> Ola' Ruy e colegas da lista,
> parece-me que todas as respostas ate' o momento estao incorretas...
> Analisando o problema para 2 cores (A e B por exemplo), vemos que
> existe apenas a sequencia "ABAB" para a pintura do circulo.
> A outra possibilidade "BABA" e', na verdade, a mesma pintura anterior
> apos girarmos o circulo de 90 graus.
> Observe que, como e' dito que os setores sao iguais, fica muito claro
> que este circulo nao tem qualquer referencia espacial.
> Em outras palavras, uma sequencia nao deve ser obtida a partir de
> outra, atraves da rotacao do circulo.
> Assim, para x=2, a resposta tem que ser 1.
> []'s
> Rogerio Ponce.
>
> OBS: um outro enunciado possivel seria "Imagine um circulo dividido em
> 4 setores diferentes entre si."...
>
>
> 2008/12/4 ruy de oliveira souza <ruymat...@ig.com.br>:
> > Não concordo com o gabarito desse problema. Imagine um circulo dividido
> em
> > quatro partes iguais. Existem x cores diferentes para pintar os quatro
> > setores . De quantos modos diferentes esses setores pode ser pintados
> sendo
> > que setores com uma linha de fronteira não podem ser da mesma côr.
> Renomado
> > cursinho de SP dá como gabarito x(x-1).
> > Antecipo os agradecimentos para quem analisar...
> > Abraços
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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