Bruno, O comentário que você fez me parece correto, mas isto não implica que o do Graciliano esteja errado. Se você ver a raiz quadrada complexa como uma "função multivalorada", tudo o que você fala faz total sentido. Se, no entanto, você escolher um ramo específico da raiz quadrada, a observação do Graciliano é pertinente. Tudo depende de como você vê a raiz quadrada mencionada no enunciado: O enunciado poderia ser claro e mencionar o que quer dizer com sqrt(-1) especificamente, visto que a raiz quadrada que não requer maiores esclarecimentos só está definida de R+ para R+, mas logicamente isto não é feito, visto que esta é a graça da questão.
Eu resolvi assumir que estávamos falando de ramos ao escrever minha resposta porque os livros que usei ao estudar variáveis complexas (Conway, Ahlfors e Alcides) preferem falar em "funções multivaluadas" apenas quando vão motivar o conceito de extensões analíticas. Outro motivo é que é difícil de gostar de um conceito cujo nome basicamente é "função que não é função" :P -- Abraços, Maurício 2008/12/17 Bruno França dos Reis <bfr...@gmail.com>: > Não, Graciliano. Esse princípio vale sempre. Veja: > sejam a e b complexos. > a^2 / b^2 = (a * a) / (b * b) = (a / b) * (a / b) = (a / b)^2. > > O problema na verdade está de 4 para 5. A questão é que não está muito bem > definido o conceito "função" para a raiz quadrada de números complexos. > Nesse caso, precisamos falar de função multivalorada (conceito que eu não > gosto muito). > O que acontece é que a função "elevar ao quadrado" não é injetiva, então > para podermos fabricar uma inversa precisamos arrancar uma parte do seu > domínio. > > Assim, se eu te perguntar: "quais sao os números que ao quadrado dão 4?", vc > me responde, prontamente: "2 e -2". Agora, se eu te perguntar, quanto é > sqrt(4), vc me responde, tb prontamente, 2, pois, convencionous que a função > sqrt(x), quando tomada com domínio em R+, terá contra-domínio tb em R+. > > Eu poderia tb te perguntar: "quais sao os números que ao quadrado dão -1?", > vc me responde facilmente "i e -i". O problema é que a resposta à questão > "quanto vale sqrt(-1)" não é tão rapida assim. A questão é: qual número > devemos escolher para a resposta? o "i" ou o "-i"? O fato é que não > escolhemos nenhum deles a princípio, então temos que tomar cuidado com os > cálculos. É aí que entra a noção de função multivalorada. > > > > Muito bem, vimos então que quando estamos nos complexos, não podemos saber > imediatamente de *qual* das raízes quadradas de um número estamos falando. > Assim, é INCORRETO assumir que o quadrado da raiz quadrada de "x" da "x". > > Isso foi assumido quando dissemos que sqrt(-1) = i. Se tomarmos o primeiro > sqrt(-1) como i e o segundo como -i, pronto, a equação funciona: "1 = -i*i". > > > > O fato é que na prática, o que fazemos é dizer que (sqrt(x))^2 = abs(x). > Nesse caso, o problema tb é resolvido: > abs(1) = abs(-1) * abs(-1) ==> 1 = 1*1 > > > > Abraço > Bruno > > > > > > -- > Bruno FRANÇA DOS REIS > > msn: brunoreis...@hotmail.com > skype: brunoreis666 > tel: +33 (0)6 28 43 42 16 > > http://www.brunoreis.com > http://blog.brunoreis.com > > e^(pi*i)+1=0 > > > 2008/12/17 Graciliano Antonio Damazo <bissa_dam...@yahoo.com.br> >> >> Se não estiver enganado com meus conceitos, na passagem de 2 para 3 é >> realizado um procedimento que diz: "a raiz quadrada de uma divisão é >> equivalente a divisão das raizes quadradas", porém para se aplicar isso é >> necessario que os numeros involvidos na divisão sejam numeros positivos e o >> numerador diferente de zero. Como no caso tinhamos o valor menos um nesse >> procedimento acarretou no absurdo final. Acho que é isso. Abraços >> >> Graciliano >> >> --- Em qua, 17/12/08, Albert Bouskela <bousk...@gmail.com> escreveu: >> >> De: Albert Bouskela <bousk...@gmail.com> >> Assunto: [obm-l] Para divertimento: i^2 = 1 (???) >> Para: "OBM (Lista)" <obm-l@mat.puc-rio.br> >> Data: Quarta-feira, 17 de Dezembro de 2008, 15:45 >> >> Descubra onde está o erro da seguinte "demonstração": >> >> >> >> 1] 1/(-1) = (-1)/1 >> >> >> >> 2] sqrt [ 1/(-1) ] = sqrt [ (-1)/1 ] >> >> >> >> 3] sqrt(1) / sqrt [ (-1) ] = sqrt [ (-1) ] / sqrt (1) >> >> >> >> 4] [ sqrt (1) ]^2 = sqrt [ (-1) ] x sqrt [ (-1) ] >> >> >> >> 5] 1 = i^2 (???) >> >> >> >> ________________________________ >> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - >> Celebridades - Música - Esportes > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
