Vou tentar responder abaixo... Lá vem spoiler, quem quiser tentar resolver a questão, não continue lendo.
. . . . . Bom... A função sqrt é definida de R+ para R+. Ao usá-la para calcular sqrt(-1), supõe-se implicitamente que você está escolhendo um ramo da raiz quadrada complexa. Não fica claro na questão, no entanto, qual ramo da raiz quadrada. O ramo principal da raiz quadrada S(x) = exp^(1/2 * L(x)), onde L é o ramo principal do logaritmo complexo, não está definido para os reais negativos e para o zero. Sabe-se, no entanto, que é possível definir um ramo do logaritmo que esteja definido simultaneamente para 1 e -1, então vamos supor que estamos usando um desses ramos para definir nossa raiz quadrada S(x). Nessas condições, no entanto, não é possível provar que S(a/b) = S(a)/S(b). De fato, isto é equivalente a provarmos que o logaritmo satisfaz L(a/b) = L(a) - L(b) (ou L(ab) = L(a) + L(b), tanto faz), o que *não* é verdade em geral. Para ver isto, suponhamos que isto vale. Então, como 4 * L(i) = L(i^4) = L(1) = i * 2kpi (para algum k), concluímos que i = 1 ao dividirmos por 4 e aplicarmos a exponencial a ambos os lados da equação, absurdo. De fato, o que a "prova" enviada faz é justamente provar que a igualdade L(a/b) = L(a) - L(b) não necessariamente vale quando a e b são complexos. Para dar um pouco mais de intuição, lembremos o que fazemos para provar que log(a*b) = log a + log b no caso real: A gente parte de e^(a + b) = e^a * e^b (que ainda vale no caso complexo) e coloca a = log c, b = log d (pois log é uma bijeção cuja imagem é toda a reta) para obter e^(log c + log d) = c * d. Aplicando o log dos dois lados, o resultado segue. Agora, onde isso falha no caso complexo? Um ramo qualquer do logaritmo complexo não tem o plano complexo todo como imagem. De fato, a parte imaginária de L(a) é o ângulo que o número complexo "a" faz com a origem, e portanto, está num intervalo da forma (y, y + 2pi) para algum y (o y depende do ramo escolhido)*. Segue-se que se tomarmos a e b com partes imaginárias não ambas no mesmo intervalo da forma acima, teremos que escolher diferentes ramos do logaritmo para fazer o mesmo truque e "completar" a prova acima. Desse jeito, no entanto, não obtemos nenhuma identidade interessante. * Isto não é contradição nenhuma com o teorema de Liouville ou com o pequeno teorema de Picard, pois nossa função não está definida em todo o plano complexo (e portanto não é inteira). -- Abraços, Maurício On 12/17/08, Albert Bouskela <bousk...@gmail.com> wrote: ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
