Oi, Henrique.
Resposta curta:
1. Sim, ha varias opcoes -- mas nao eh **uma** definicao de par
ordenado que lhe dah varias opcoes de conjunto! Sao varias opcoes PARA
A DEFINICAO que voce vai usar. Escolha uma definicao, use-a, mas fique
soh com ela, ateh o final.
Por exemplo: tem gente que define os numeros naturais contendo o 0 (eu
gosto assim, acho que o Nicolau tambem), tem gente que define
comecando pelo 1 (o Elon, por exemplo, nos seus livros). Como nao ha
um consenso sobre qual destas definicoes eh a *correta*, a gente tem
que dizer qual definicao estah usando sempre que necessario. A unica
coisa que eu nao posso eh usar as DUAS DEFINICOES ao mesmo tempo -- ai
teriamos que 0 eh natural e nao eh ao mesmo tempo, e toda a minha
matematica vai por agua abaixo.
2. Para as triplas, voce escolhe a definicao que voce quiser, ou ateh
inventa uma nova. Mas eh muito importante que valha o seguinte:
(a,b,c)=(d,e,f) se e somente se a=d, b=e e c=f.
Se voce inventar uma definicao que nao satisfaca isso (uma onde
(1,2,3)=(1,3,2) ou algo assim), bom, suas triplas ordenadas nao terao
as mesmas propriedades de todas as triplas ordenadas que todo mundo
usa. Isso que eu quis dizer com "nao serve".
-------
Resposta comprida:
Como definir um "par ordenado" (e, consequentemente, definir AxB, isto
eh, A cartesiano B)? O que *queremos* eh o seguinte:
DEFINICAO 1. Um par ordenado (a,b) eh um objeto que tem a seguinte
propriedade: (a1,b1)=(a2,b2) se e somente se a1=a2 e b1=b2.
Se voce parar para pensar, esta eh realmente a *unica* propriedade que
precisamos dos pares ordenados -- soh sao iguais quando ambas as
componentes sao RESPECTIVAMENTE iguais. Agora, isto eh um pouco
estranho. Afinal, quando voce define um objeto por uma propriedade,
quem garante que existe ALGUM objeto no mundo que a satisfaz?
...
Bom, tem um pessoal que prefere a seguinte definicao:
DEFINICAO 2. Um par ordenado (a,b) eh o conjunto {{a,b},b}.
A vantagem desta eh que ela eh construtiva (bom, ela soh faz uso da
Teoria dos Conjuntos). Agora, tem gente que usa outras pequenas
variacoes, como (a,b)={{a,b},a} ou outras coisas parecidas. Que eu
saiba, nao existe um consenso (e um dos motivos de nao haver um padrao
eh que ninguem usa pra valer a definicao 2 ou suas variantes -- todo
mundo soh usa a propriedade dentro da DEFINICAO 1, que eh mais simples
e, no final, eh o que interessa).
O que fica faltando aqui eh mostrar que o objeto definido pela DEF2
tem de fato a propriedade lah da DEF1 (que, lembre-se, eh o que
queremos de fato). Entao, para sermos rigorosamente logicos,
precisamos provar:
PROPOSICAO: {{a1,b1},b1}={{a2,b2},b2} se e somente se a1=b1 e a2=b2.
Se a1, b1, a2, b2 forem objetos quaisquer, demonstrar isto eh
surpreendentemente dificil. A unica demonstracao que eu tenho precisa
usar um CANHAO de lema que eu nem sei se eh consenso entre os
matematicos: a ideia de que, na Teoria dos Conjuntos, eh proibido ter
um conjunto que pertenca a si mesmo ou a qualquer de seus elementos...
Se a1, b1, a2, b2 forem restritos a numeros, eu sei fazer: nao pode
ser b1={a2,b2} nem b2={a1,b1} (jah que o da esquerda eh um numero e o
da direita eh um conjunto de numeros); entao b1=b2 e {a1,b1}={a2,b2}.
Mas entao {a1,b1}={a2,b1}. Ou estes conjuntos sao ambos unitarios
(entao a1=b1 e a2=b1, donde vem a1=a2), ou ambos tem dois elementos
(entao para os conjuntos serem iguais devemos ter a1=a2).
Isto cuida da IDA do "se e somente se". A volta eh imediata. CQD.
Em suma, mostramos que o objeto da DEFINICAO 2 tem a propriedade que
estah na DEFINICAO 1. O engracado eh que, agora, podemos voltar a usar
a definicao 1 sem problema algum -- a definicao 2 junto com a
PROPOSICAO mostram que ha, de fato, objetos que satisfazem a DEFINICAO
1, entao o grande defeito da DEFINICAO 1 acaba de sumir!
Puxa, eu sou prolixo demais. Serah que alguem se deu ao trabalho de
ler tudo isso? :)
Abraco,
Ralph
2009/1/15 Henrique Rennó <henrique.re...@gmail.com>:
> Realmente fiquei confuso. Você utilizou que (a, b) = { {a, b}, b } e em uma
> mensagem anterior o Marcelo colocou que (a, b) = { {a}, {a, b} }. Assim, {
> {a, b}, b } = { {a}, {a, b} }, o que não é verdade. Abaixo você escreve "uma
> das opções da definição de par ordenado", ou seja, poderiam haver diversos
> conjuntos representando o mesmo par ordenado?
>
>>> { {a}, {a, b}, {a, c} } seria (a, b, c) ?
> Nao serve pois teriamos (a,b,c)=(a,c,b), mesmo que b<>c.
>
>>> { {a}, {a, b}, {b, c} } seria (a, b, c) ?
> Nao serve pois teriamos (a,b,a)=(a,a,b), mesmo que a<>b.
>
> Não entendi essas observações.
>
> Desculpe se estou parecendo chato persistindo nas explicações, mas esse
> conceito não parece simples de definir e estou curioso procurando
> entendê-lo.
>
> 2009/1/14 Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>
>>
>> Como alguem jah disse, essas definicoes sao interessantes sob o ponto
>> de vista formal, mas pra mim "sacais" demais para usar de verdade. Mas
>> vamos lah: vou usar:
>>
>> (a,b)={{a,b},b}
>>
>> Se voce realmente quiser generalizar para n-plas ordenadas, uma opcao
>> eh definir recursivamente:
>>
>> (a1, a2,...,an)=((a1,a2,...,an-1),an)
>>
>> ou seja, uma n-pla de objetos eh um par ordenado, cujo primeiro termo
>> eh uma (n-1)-pla ordenada e o segundo termo eh o "ultimo" objeto.
>> Usando isto e (a,b)={{a,b},b} (que eh uma das opcoes da definicao de
>> par ordenado), ficaria:
>>
>> (a,b,c)=((a,b),c)={ {(a,b),c} ,c}={ { {{a,b},b} ,c},c}
>>
>> Horrivel! Nao tenho nem coragem para ver se esta multitude de chaves
>> estah correta.... :)
>>
>> Como voce mesmo colocou, aquelas tentativas de definicao de tripla
>> ordenada nao servem. Em resumo:
>>
>> >> { {a}, {a, b}, {a, c} } seria (a, b, c) ?
>> Nao serve pois teriamos (a,b,c)=(a,c,b), mesmo que b<>c.
>>
>> >> { {a}, {a, b}, {b, c} } seria (a, b, c) ?
>> Nao serve pois teriamos (a,b,a)=(a,a,b), mesmo que a<>b.
>>
>> Abraco,
>> Ralph
>>
>> 2009/1/14 Henrique Rennó <henrique.re...@gmail.com>:
>> > Alguém poderia explicar as dúvidas que coloquei? Estaria errada a forma
>> > como
>> > pensei os exemplos?
>> >
>> > On Fri, Jan 9, 2009 at 4:36 PM, Henrique Rennó
>> > <henrique.re...@gmail.com>
>> > wrote:
>> >>
>> >> E os seguintes casos?
>> >>
>> >> 1:
>> >> { {a}, {a, b}, {a, c} } seria (a, b, c) ?
>> >> { {a}, {a, b}, {b, c} } seria (a, b, c) ?
>> >>
>> >> Conjuntos diferentes correspondendo ao mesmo par ordenado.
>> >>
>> >> 2:
>> >> { {a}, {a, b}, {b} } seria (a, b, ?) ou (a, b, b)?
>> >> { {b}, {a, b}, {a} } seria (b, a, ?) ou (b, a, a)?
>> >>
>> >> Conjuntos iguais correspondendo a pares ordenados diferentes.
>> >>
>> >> O número de elementos no conjunto (sejam outros conjuntos ou não) é que
>> >> especifica quantos elementos haverá no par ordenado? No caso 2, como a
>> >> e b
>> >> já foram "usados", qual seria o terceiro elemento do par ordenado?
>> >>
>> >> Estou pegando o conceito errado?
>> >>
>> >> --
>> >> Henrique
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Henrique
>> >
>
> --
> Henrique
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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