1) E claro que para todo N temos que Xn =< Yn, pois a media geometricanunca e
maior que a media aritmetica. Desta desigualdade pontualdecorre imediatamente o
seguinte :
Xn+1 = (Xn*Yn)^(1/2) >= (Xn*Xn)^(1/2)=Xn => (Xn) e uma
sequencianao-decrescenteYn+1 =(Xn+Yn)/2 =< (Yn+Yn)/2 = Yn => (Yn) e uma
sequencia nao-crescente
E tambem o seguinte :
Yn >= Xn para todo N, Xn >= X1 para todo N => X1 =< (Yn) =< Y1 paratodo N =>
(Yn) e limitada.Xn <= Yn para todo N, Yn =< Y1 para todo N => X1 =< (Xn) =< Y1
paratodo N => (Xn) e limitada
E concluimos :
(Xn) e (Yn) sao monotonas e limitadas => (Xn) e (Yn) sao convergentes.
Sejam A = lim Xn= sup{X1, X2, ... } e B = lim Yn = inf{Y1, Y2, ...}
Nao pode ser B < A porque sendo B um infimo isto implicaria aexistencia de um
Yp < A e a monotonicidade de (Yn) implicaria que Yn <A para todo n >= p. Ora,
tomando um E > 0 tal que A-E > Yp teriamosque Xn > Yp para todo N
suficientemente grande => Xn > Yn para Nsuficientemente grande ... ABSURDO !
Nao pode ser B > A porque teriamos Yn+1 =(Xn+Yn)/2 >= B , para todo N=> Xn >= B
+ (B-Yn), para todo N. Para N suficientemente grante temosque B-Yn tende a zero
pois LIM Yn = B => para N suficientemente grandeXn > A ... ABSURDO !
Assim, nao podendo ser A < B ou A > B segue que A=B, como queriamos demonstrar !
2) Sem perda de generalidade vou supor que a >= b > 0. Os detalhesdos casos em
que a=0 ou/e b=0 sao triviais e fica como exercicio.
Xn=(a^n+b^n)^(1/n) = [a^n(1+(b/a)^n]^(1/n)=a[(1+(b/a)^(1/n))^(1/n)Lim Xn =
a*LIM[(1+(b/a)^(1/n))^(1/n)
Note agora que a >= b => (b/a) =< 1 => (b/a)^N <= 1 =>1+(b/a)^N =< 1+1
=> 1 =< 1+(b/a)^N =< 2 => 1 =<[1+(b/a)^N]^(1/N) =< 2^(1/N)Aplicando o
teorema do confronto ( teorema do sandwich ) temos que LIM [1+(b/a)^N]^(1/N) =
1. Logo :
LIm Xn= a*1 = a = max{a,b}
Fica com Deus !PSR, 51501092019
OBS : Da pra tornar mais claro os dois ultimos argumentos, sendotalvez mais
prolixo. Isso fica como exercicio.2009/1/15 Murilo Krell
<murilo.kr...@gmail.com>:> prezados amigos da lista,>> Poderiam me ajudar com
algumas questões de séries?>> 1) dados a,b pertencente a R+ defina
indutivamente as sequências (xn)> e (yn) pondo x1=(a.b)^(1/2) e y1 = (a+b)/2 e
xn+1=(xn.yn)^1/2 e yn+1=> (xn+yn)/2. Prove que xn e yn convergem para o mesmo
limite.>> 2) seja a >=0, b>=0, prove que lim(a^n + b^n)^(1/n) = max { a, b}>>>
abs,> Murilo>>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em>
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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