Oi, Vitório (?).
Para encontrar os valores de x onde as funções se cortam, você se
deparou com a equação
x^n=2x-x^2
x=0 é uma raiz; se x<>0, dividimos por x e rearrumamos
x^(n-1)+x=2
É fácil verificar que x=1 serve; note também que a função
g(x)=x^(n-1)+x é crescente em x para x positivo, então ela só pode ser
igual a 2 em um ponto (que é x=1 mesmo). Isto mostra que x=0 e x=1 são
as únicas soluções não-negativas da equação original.
(Ou então: tome p(x)=x^(n-1)+x-2; como 1 é uma raiz, podemos dividir
por x-1 -- use Briot-Ruffini ou seu método predileto -- e encontrar
q(x)=p(x)/(x-1)=x^(n-2)+x^(n-3)+x^(n-4)+...+x^2+x+2; como todos os
coeficientes de q(x) são positivos, fica claro que nenhum valor
positivo de x vai zerar isso).
Agora é fazer do jeito que você fez -- eu também só sei fazer com a
integral, não sei o que eles queriam que fosse feito... Deu n=5 pra
mim também.
Abraço,
Ralph
2009/1/18 <vitorioga...@uol.com.br>:
>
>
>
> Olá colegas.
>
> Estava resolvendo a prova da cesgranrio, se não me engano para uma área
> técnica de química.
>
> Pois bem, deparei-me com a seguinte questão:
>
> (Cesgranrio) Considere as funções f e g, ambas de IR+ em IR, e cujas leis
> correspondem a f(x) = 2x -x^2 e g(x) = x^n, em que n é um número inteiro
> positivo. A área da região delimitada, acima pelo gráfico de f e abaixo pelo
> gráfico de g, vale 1/2. É correto afirmar que n é um divisor de
> .
> A) 30
> B) 28
> C) 27
> D) 26
> E) 24
>
> Pensei em colocar como uma equação do segundo grau, cujas raízes serão 1+
> raiz(1-x^n) e 1-raiz(1-x^n)
>
> Ora , 1 - x^n >=0 se e só se x^n <=1. Contudo x>0, então 0< x <=1.
>
> Podemos afirmar que 0 e 1 são raízes??????
>
> porém não são as únicas?????
>
> Mas fazendo a integral (0--1) encontramos n =5, divisor de30.
>
> Grato.
>
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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