Caros Fabrício e Nehab, Achar um fator foi fácil, o problema foi "quebrar" o quociente nos outros dois.
Fiz assim: 5^1985 - 1 = (5^397)^5 - 1 Seja x = 5^397. Então queremos fatorar x^5 - 1 que, de imediato, resulta em (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), ou seja, um dos fatores é 5^397 - 1. Falta fatorar x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 de uma forma conveniente. Após um tempinho (pouca coisa, até no Fla x Flu no Maracanã estava rabiscando...), tive a idéia de tentar escrever a expressão como uma adequada diferença de dois quadrados. Caso conseguisse, o problema estaria resolvido, pois um fator seria a soma e outro, a diferença. Arbitrei o primeiro quadrado como (x^2 + ax + 1)^2, que já geraria o termo de quarto grau e o termo independente corretos. E coloquei o segundo quadrado como 5x(x+b)^2, pois como x = 5^397, 5x = 5^398 seria um quadrado perfeito. Igualando as expressões (e rezando para encontrar valores de a e b compatíveis), veio: (x^2 + ax + 1)^2 - 5x(x+b)^2 = x^4 + (2a -5)x^3 + (a^2 - 10b + 2)x^2 + (2a - 5b^2)x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Assim: 2a -5 = 1 => a = 3 a^2 - 10b + 2 = 1 => b = 1 Agora era hora da onça beber água: 2a - 5b^2 = 1 Mas a = 3 e b = 1 satisfazem ! Eureka ! x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 5x(x+1)^2 Substituindo x por 5^397: ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5*5^397*(5^397 + 1)^2 = = ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5^398*(5^397 + 1)^2 (diferença de quadrados) = = (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) - 5^199*(5^397 + 1)) * (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) + 5^199*(5^397 + 1)) (produto da diferença pela soma) = = (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Os três fatores são claramente maiores que 5^100, conforme solicitado. Então: 5^1985 -1 = (5^397 - 1) * (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Como já são três da manhã e já perdi o sono mesmo, resolvi fazer umas "continhas de cabeça", tal como o Ralph fez outro dia desses... 5^397-1 = 2 x 2 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x C258 5^794 -5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1 = 71 x 399.091.951.801 x C542 5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1 = 11 x 146.891 x C549 Logo: 5^1985 -1 = 2 x 2 x 11 x 71 x 146.891 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x 399.091.951.801 x C258 x C542 x C549 (onde Cn são números compostos de n algarismos). A fatoração de C258, C542 e C549 fica como exercício ... :) Abraços, Vidal. P.S. Nehab: Apesar de não nos conhecermos pessoalmente, temos um grande amigo em comum: o Manuel Martins Filho, professor de Informática da Carioca ! Abraços ! :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Carlos Nehab <ne...@infolink.com.br> > Oi, gente, > > Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ninguém deu > muita bola, talvez achando que é óbvio. > Não achei óbvio não. Quem resolveu? > > Abraços, > Nehab > > fabrici...@usp.br escreveu: > > Caros colegas, > > mexendo em algumas listas antigas de exercícios, um me chamou muito a > atenção. > Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de três inteiros maiores que 5^100. > > > Pra facilitar um possível avanço, 1985 pode ser escrito como 5 x 397 (ambos > primos). > > . > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html> > ========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>=========================================================================
