Oi, Vidal,
Muito legal a sacação bem sucedida de forçar a diferença entre
quadrados, e com muita criatividade ... Eu não tinha conseguido matar
o problema.
Quanto ao Manuel somos amigos há 30 anos e já percorremos muito chão
juntos. Nos conhecemos no SERPRO, quando éramos funcionários de uma
área maluca de Estatística, Modelagem , etc (era onde eles colocavam
os caras que, além de programar, como todo mundo de lá programava,
sabiam também fazer umas continhas mágicas como a que você fez no
problema abaixo..). E nesta época eu ainda dava aula no IME, de
Lógica, Análise Linear, Cálculo ,1,2..., N..., etc). Prá você ter uma
idéia meu cargo era de Matemágico....
Ahhh , que emoção quando penso nas pessoas
bacanas com quem convivi naquela época. Todas geniais... Gostosas
saudades...
Mas não sei se você sabe, eu fui coordenador de Cursos de
Computação da Carioca e Gerente de Tecnologia durante uns 2 anos, há
uns 10 anos ... E lá estava o Manuel que foi quem me seduziu a
trabalhar lá...
Um grande abraço,
Nehab
PS: De onde você conhece o Manuel? Da night? Dos botequins e rodadas de
violão? Ou foi aluno dele?
*Vidal escreveu:
Caros Fabrício e Nehab,
Achar um fator foi fácil, o problema foi "quebrar" o quociente nos
outros dois.
Fiz assim:
5^1985 - 1 = (5^397)^5 - 1
Seja x = 5^397.
Então queremos fatorar x^5 - 1 que, de imediato, resulta em (x - 1)
(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), ou seja, um dos fatores é 5^397 - 1.
Falta fatorar x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 de uma forma conveniente.
Após um tempinho (pouca coisa, até no Fla x Flu no Maracanã estava
rabiscando...), tive a idéia de tentar escrever a expressão como uma
adequada diferença de dois quadrados. Caso conseguisse, o problema
estaria resolvido, pois um fator seria a soma e outro, a diferença.
Arbitrei o primeiro quadrado como (x^2 + ax + 1)^2, que já geraria o
termo de quarto grau e o termo independente corretos.
E coloquei o segundo quadrado como 5x(x+b)^2, pois como x = 5^397, 5x =
5^398 seria um quadrado perfeito.
Igualando as expressões (e rezando para encontrar valores de a e b
compatíveis), veio:
(x^2 + ax + 1)^2 - 5x(x+b)^2 = x^4 + (2a -5)x^3 + (a^2 - 10b + 2)x^2 +
(2a - 5b^2)x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
Assim:
2a -5 = 1 => a = 3
a^2 - 10b + 2 = 1 => b = 1
Agora era hora da onça beber água:
2a - 5b^2 = 1
Mas a = 3 e b = 1 satisfazem ! Eureka !
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 5x(x+1)^2
Substituindo x por 5^397:
((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5*5^397*(5^397 + 1)^2 =
= ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5^398*(5^397 + 1)^2 (diferença de
quadrados) =
= (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) - 5^199*(5^397 + 1)) * (((5^397)^2 +
3*5^397 +1) + 5^199*(5^397 + 1)) (produto da diferença pela soma) =
= (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 +
5^199 + 1)
Os três fatores são claramente maiores que 5^100, conforme solicitado.
Então:
5^1985 -1 = (5^397 - 1) * (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) *
(5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1)
Como já são três da manhã e já perdi o sono mesmo, resolvi fazer umas
"continhas de cabeça", tal como o Ralph fez outro dia desses...
5^397-1 = 2 x 2 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x C258
5^794 -5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1 = 71 x 399.091.951.801 x C542
5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1 = 11 x 146.891 x C549
Logo:
5^1985 -1 = 2 x 2 x 11 x 71 x 146.891 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x
399.091.951.801 x C258 x C542 x C549
(onde Cn são números compostos de n algarismos).
A fatoração de C258, C542 e C549 fica como exercício ...
:)
Abraços,
Vidal.
P.S. Nehab: Apesar de não nos conhecermos pessoalmente, temos um grande
amigo em comum: o Manuel Martins Filho, professor de Informática da
Carioca ! Abraços !
:: [email protected]
***
2009/4/5 Carlos Nehab <[email protected]>
Oi, gente,
Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ninguém deu
muita bola, talvez achando que é óbvio.
Não achei óbvio não. Quem resolveu?
Abraços,
Nehab
[email protected] escreveu:
Caros colegas,
mexendo em algumas listas antigas de exercícios, um me chamou muito a
atenção.
Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de três inteiros maiores que
5^100.
Pra facilitar um possível avanço, 1985 pode ser escrito como 5 x 397
(ambos primos).
.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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