Olá Henrique,
desculpe, realmente pulei diversas etapas na minha solução.
x^[1/(1-x)] = exp[ ln(x^(1/(1-x))) ]
mas ln[ x^(1/(1-x)) ] = ln(x) / (1-x), pois log(a^b) = b*log(a).
Desta maneira, temos: x^[1/(1-x)] = exp[ ln(x)/(1-x) ]
Veja que em lim{x->1} ln(x)/(1-x) temos uma indeterminação do tipo 0/0,
logo, podemos aplicar L'Hopital.
Usando L'Hopital, derivamos o numerador e o denominador, obtendo: lim{x->1}
ln(x)/(1-x) = lim{x->1} (1/x)/(-1) = lim{x->1} -1/x = -1
Certo, agora vamos usar o seguinte teorema:
Se f(x) é continua, temos que lim{x->a} f(g(x)) = f(lim{x->a} g(x))
No caso, temos f(x) = exp(x) e g(x) = ln(x)/(x-1)
Como lim{x->1} g(x) = -1, temos que lim{x->1} f(g(x)) = f(-1) = exp(-1) =
1/e.
Novamente respondi correndo um pouco, mas acho que fui mais claro.
abraços,
Salhab
2009/4/16 Henrique Rennó <henrique.re...@gmail.com>
> Olá Marcelo,
>
> Desculpe, mas não entendi sua solução.
>
> Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não
> exp[ln(x)/(1-x)]?
>
> O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?)
> onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas
> vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a
> indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou
> em exp[(1/x)/(-1)].
>
> Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim,
> acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de
> L'Hôpital.
>
> Obrigado!
>
> Abraços
>
> 2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com>
>
> Olá Henrique,
>>
>> x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] =
>> exp(-1/x)
>>
>> Logo, o limite vale 1/e.
>>
>> abraços,
>> Salhab
>>
>>
>>
>>
>>
>> 2009/4/15 Henrique Rennó <henrique.re...@gmail.com>
>>
>>> Existe uma solução algébrica para o seguinte limite?
>>>
>>> lim, x->1, x^[1/(1-x)]
>>>
>>> --
>>> Henrique
>>>
>>
>>
>
>
> --
> Henrique
>
