Ola Benedito e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos )
>From: "benedito" <bened...@ufrnet.br> >para paulo.santar...@gmail.com >data 2 de maio de 2009 09:16 >assunto Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz > > >Paulo, > >Desculpe-me a intimidade explícita na mensagem. >Na verdade, estava passando esta beleza de raciocíonio para um Amigo, também >Professor de >Matemática na minha cidade, que também se chama Paulo, para os >íntimos Paulinho. >Por engano, repassei a mensagem para obm-lista. >Desculpe-me. >Benedito Tudo bem, nao fiquei chateado. Voce gostou ? Vou supor que sim. Aperte os cintos porque vamos decolar. Vamos ver os elementos iniciais de "um sonho de uma noite de verao". Eu estava em casa. Eram cerca de duas horas da madrugada. Nao sei exatamente o dia, mas sei que estava feliz, trabalhando no Maxima ( http://maxima.sourceforge.net/ ) sobre o glorioso Debian/GNU Linux ( http://www.br.debian.org/ ). Havia descoberto um fato interessante sobre sequencias de inteiros que sao expressas por duas ou mais sentencas, tais como a famosa sequencia de Lucas ( Aqui conhecido como Problema 2N+1 ). Eu fazia algumas simulacoes no Maxima, quando entao devo ter dormido sobre o teclado. Sonhei entao que os numeros binomiais Bi(N,P) que constituem o triangulo de Pascal eram interpretados e representados de outra forma... Ao inves de interpretar Bi(N,P) como o numero de combinacoes de P elementos que se pode fazer com N elementos, interpretava-se Bi(N,P) como o numero de permutacoes de N elementos, N-P de um tipo, iguais entre si e indistinguiveis; P de outro tipo, iguais entre si e indistinguiveis. No sonho, Bi(N,P), com esta nova interpretacao, era representado assim : [N-P,P] Eu fiquei curioso com esta ligeira modificacao na interpretacao e queria saber o motivo. Foi entao quando escutei uma voz distante dizer : "E para que voce, ao ver as faces ocultas do triangulo de Pascal, continue podendo dar uma unica e uniforme interpretacao combinatoria". Na hora nao entendi direito, pois, afinal, o que seriam estas "faces ocultas do traingulo de Pascal ?" Mas deduzi imediatamente que : [m,n] = (m+n) ! / ( m! * n! ) =Bi(m+n,n) Foi logo apos esta simples deducao que surgiu na minha frente um triangulo de Pascal com os numeros binomiais na sua nova representacao. Ele apareceu assim : ... [0,4] ... [0,3], [1,3] ... [0,2], [1,2], [2,2] ... [0,1], [1,1], [2,1], [3,1] ... [0,0], [1,0], [2,0], [3,0], [4,0] ... Quando olhei esse triangulo, ficou claro para mim que a notacao "entre colchetes", [m,n], era para diferenciar as coordenadas (m,n) de um ponto do valor [m,n]=(m+n)! / (m! * n!) ATRIBUIDO ao ponto (m,n). Assim, entendi logo que [m,n] era o valor ( ou "imagem") de uma funcao no ponto (m,n). Assim, com a notacao [m,n] voce representava tanto o valor como o "lugar" no plano cartesiano XoY onde o valor deveria ser colocado. O triangulo de Pascal era portanto apenas uma particular funcao de N x N em N ( aqui, devemos supor N={0,1,2,3, ...}, isto e, com o zero ). Mas o que me causou surpresa, mesmo, foi ver como eram representados os coeficientes numericos ( coeficientes trinomiais ) da expansao de (a+b+c)^N. Naquele estranho lugar que eu estava, eles simplesmente representavam o triangulo de Pascal na forma como descrevi acima nos tres pares de eixos coordenados, acrescentando simplesmente um zero de forma conveniente. Assim : Triangulo no plano XoY ( acrescente um zero no fim ) ... [0,4,0] ... [0,3,0], [1,3,0] ... [0,2,0], [1,2,0], [2,2,0] ... [0,1,0], [1,1,0], [2,1,0], [3,1,0] ... [0,0,0], [1,0,0], [2,0,0], [3,0,0], [4,0,0] ... Triangulo no plano XoZ ( acrescente um zero no meio ) ... [0,0,4] ... [0,0,3], [1,0,3] ... [0,0,2], [1,0,2], [2,0,2] ... [0,0,1], [1,0,1], [2,0,1], [3,0,1] ... [0,0,0], [1,0,0], [2,0,0], [3,0,0], [4,0,0] ... Triangulo no plano YoZ ( acrescente um zero no inicio ) ... [0,0,4] ... [0,0,3], [0,1,3] ... [0,0,2], [0,1,2], [0,2,2] ... [0,0,1], [0,1,1], [0,2,1], [0,3,1] ... [0,0,0], [0,1,0], [0,2,0], [0,3,0], [0,4,0] ... Eu logo entendi porque se procedia assim, pois, dado a uniformidade de interpretacao e de calculo, um trio [m,n,p] so podia ser interpretado como o numero de permutacoes de m+n+p objetos dos quais "m" sao de um tipo, indistinguiveis entre si; "n" sao de outro tipo, indistinguiveis entre si e, finalmente, "p", sao de um terceiro tipo, tambem indistinguiveis entre si. Portanto : [m,n,p]=(m+n+p) ! / (m! * n! * p! ) como, obviamente, [m,n,p]=[m,p,n]=[n,m,p]=[n,p,m]=[p,n,m]=[p,m,n], acrescentar um zero em qualquer posicao de [m,n] e equivalente ao numero [0,m,p] e teremos : [0,m,n]= (0+m+n)! / (0! m! p!) = (m+n)! /(m! * p!) = [m,n] E aqui eu finalmente entendi porque usar a interpretacao com base em permutacoes, pois, caso em parmanecesse com a interpretacao de combinacoes nao seria capaz de expandir a representacao com a mesma facilidade e uniformidade. Com esta representacao, que no meu sonho era chamada de PIRAMIDE DE LEIBNITZ, a expansao de (a+b+c)^N era um PIRAMIDE TRIANGULAR REGULAR, na qual cada face era um UM PARTICULAR TRIANGULO DE PASCAL. Assim, por exemplo, para sabermos os coeficientes de (a+b+c)^3, bastava seccionar a piramide de Leibniz pelo plano X+Y+Z=3. As interseccoes assim obtidas eram simultaneamente os lugares e os valores dos coeficientes dos monomios que constituem a expansao de (a+b+c)^3 Como exemplo, o ponto V=(1,1,1) e o "lugar" do monomio (a^1)*(b^1)*(c^1) e o coeficiente deste monomio e o numero [1,1,1] = (1+1+1) ! / ( 1! * 1! * 1! ) = 6 . O ponto R=(2,0,1) e o "lugar" do monomio (a^2)*(b^0)*(c^1)=(a^2)*(b^1) e o coeficiente deste monomio e o numero [2,0,1]=[2,1]=(2+1)! / (2! * 1!) = 3. E assim sucessivamente. Para mim, neste ponto, ficou claro como representar a expansao de (X1 + X2 + ... + Xm) ^N. Bastava, obvio, ir para o R^M e seccionar a correspondente PIRAMIDE DE LEIBNIZ com o plano X+Y + ... ( M variaveis ) = N. As solucoes inteiras e nao-negativas desta equacao sao os "lugares" e os valores dos coeficientes da expansao. A VERDADEIRA RIQUEZA ESTA NO INTERIOR Mas, no inicio do sonho, uma voz havia me dito que tudo aquilo era para que eu pudesse ver as faces ocultas do traingulo de Pascal. Lembrei-me disso, no sonho. E eis que aquela mesma voz fixou os meus olhos num ponto V=(1,1,1), lugar de "abc" na expansao de (a+b+c)^3 e no qual devemos por o coeficiente [1,1,1]=6. Sob este ponto, ao aproximar os meus olhos, vi as letras V.I.T.R.I.O.L. Minha formacao Iniciatica me permitil deduzir imediatamente que aquilo era uma abreviacao para : "Visita Interiora Terrae Retificando que Invinies Occultum Lapidem" E, fiat luz, a luz se fez. Numa fracao de segundos, tudo ficou claro. Entendi tudo : O ponto V=(1,1,1) nao pertence a qualquer da faces da Piramide de Leibniz, pois ele nao contem um ou mais zeros. Ao seccionar esta piramide pelo plano X+Y+Z=4 com o objetivo de encontrar os lugares e coeficientes de (a+b+c)^4, acharemos os pontos I=(1,2,1) , T=(1,1,2) e R=(2,1,1). Ora, os pontos V, I, e T definem UM PLANO PARALELO ao plano YoZ, os pontos V, I e R definem UM PLANO PARALELO ao plano XoY e, finalmente, os pontos V, T e R definem UM PALNO PARALELO ao plano XoZ, ou seja, a partir de V=(1,1,1) surgira, no interior da piramide de Leibniz, UMA NOVA PIRAMIDE CUJAS FACES SAO PARALELAS AS FACES DA PIRAMIDE DE LEIBNIZ. Ficou claro para mim naquele ponto do sonho que para todo N=3K, K=1,2,3, ... a interseccao de X+Y+Z=N com a piramide de Leibniz faria surgir um ponto (K,K,K) que daria origem a uma nova piramide, mais interna, cujas faces seriam paralelas as faces das piramides mais externas. A intuicao infantil, o sonho, tinham confirmado as minhas suspeitas. Eu tinha VISTO ou ADVINHADO as faces ocultas do triangulo de Pascal. Agora era tudo simples e maravilhoso. Por que ? Por que apos ver o objeto, bastaria eu caracterizar estas "folheacoes discretas" e proceder como Arquimedes fez ... ( A area do circulo é pi*(r^2) = ( (2pi*r)*r ) /2 = area de um triangulo retangulo que tem para altura o raio do circulo e para base o comprimento da circunferencia => volume da esfera = volume de um cone que tem para altura o raio e para base a area da esfera => (4/3)pi*(r^3) = (1/3)r* S => S=4pi*(r^2) ) Ou seja, na validade de uma relacao qualquer entre numeros binomiais do triangulo de Pascal, supor que isto seja um caso particular das piramides de Leibniz e extrapolar a relacao para os numeros multinomiais quaisquer, dado a imensa simetria do objeto que contemplamos. Assim, o meu trabalho naquele momento era caracterizar as faces ocultas e estudar como poderia aplicar suas propriedades, que esperava serem notaveis, na solucao de problemas que sem tal visualizacao ficam muito dificeis. Mas, que balanco e esse ? Diante de tao maravilhosa visao algo me arrancava brutalmente daquele paraiso. Seria Satanas, que nao gosta que o homem aprecie as coisas de Deus ? ... Que nada, era a minha mulher me acordando e me tirando de cima do teclado. Eu havia dormido no escritorio la de casa e, ja tendo amanhecido, precisava me arrumar para ir trabalhar ... Um Abracao a Todos ! PSR, 70205091830 2009/4/29 benedito <bened...@ufrnet.br>: > Show de bola, Paulinho. > Benedito > > > ----- Original Message ----- From: "Paulo Santa Rita" > <paulo.santar...@gmail.com> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br> > Sent: Wednesday, April 29, 2009 10:54 AM > Subject: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz > > >> Ola Pessoal, >> >> O Binomio de Newton e um assunto tipico da Matematica do ensino medio. >> Ele da origem a questoes interessantes, algumas ja discutidas aqui >> nesta. Um aspecto "curioso" deste tema >> e que podemos olhar a expansao como disposta ao longo de uma reta, >> numa ordem implicita. Assim : >> >> (a+b)^N = a^n + N*(a^(n-1))*b + ... + N*a*(b^(n-1)) + b^n >> >> E nos falamos com naturalidade no "primeiro termo da expansao", no >> "segundo termo" e assim sucessivamente, firmando-nos nos expoente de >> "b" ( ou de "a") que funcionam como um indice. Inclusive os livros >> falam em algo como, "excontre o decimo termo da expansao de >> (2x-3y)^15", implicitamente admitindo este tipo de ordenacao. >> >> E na expancao, digamos, de um trinomio do tipo (2x-3y+y)^15 ? Quem e o >> "decimo" termo ? Aqui, NA AUSENCIA DE UMA REPRESENTACAO CONSISTENTE, >> uma tal questao e INDETERMINADA, pois precisamos acrescentar mais >> algumas informacoes. >> >> Seria possivel uma representacao consistente ? Uma maneira de olhar as >> coisas que preservasse a visao habitual e lhe acrescentasse alguma >> novidade ? Eu lembro que a ordem habitual no Binomio de Newton segue o >> triangulo de Pascal ... >> >> Bi(0,0) >> Bi(1,0),Bi(1,1) >> Bi(2,0),Bi(2,1),Bi(2,2) >> ... >> >> Onde Bi(N,P)=N!/( (P!)*( (N-P)! ) ) >> >> Portanto, usando o triangulo de Pascal ( preservando sua principais >> leis e propriedades ) e possivel encontrar uma representacao >> consistente, um "lugar" onde colocar os termos da expansao de (X1 + X2 >> + .... + Xm)^N ? >> >> Note que uma tal construcao significaria, em parte ( existe uma outra >> parte, mais dificil ), ver o famoso triangulo pascalino apenas como a >> ponta de um iceberg, descortinando parte da superestrutura que lhe da >> suporte ... >> >> Entao : como e a parte imersa do iceberg ? >> >> Um Abraco a Todos ! >> PSR, 42904091050 >> ========================================================================= >> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
