Ola Nehab e demais colegas desta lista ... OBM-L, Voce gostou do Conto ? Fico Feliz ! Ser casado com uma escritora traz algumas vantagens ... Aqui vai uma implicacao do sonho :
Eu precisaria, previamente, ter caracterizados as folheacoes ou faces ocultas do triangulo de Pascal que descrevi no sonho. Usando a notacao que la introduzi as coisas ficam mais faceis e diretas. Mas vou seguir um atalho aqui. Estarei imaginando o Triangulo de Pascal ( doravante chamado de TP ) com a seguinte disposicao : Bi(0,0) Bi(1,0),Bi(1,1) Bi(2,0),Bi(2,1),Bi(2,2) . . . As colunas sao entendidas como numeradas da esquerda para a direita a partir de zero. Verifique que se tomarmos 3 elementos consecutivos Ai+1, Ai e Ai+1 da coluna 2 teremos : Ai+1 - 2Ai + Ai-1 = 1^2 = 1 Exemplo : Bi(2,2) - 2Bi(3,2) + Bi(4,2) = 1 - 2*3 + 6 = 1 Se tomarmos 4 elementos consecutivos Ai+2, Ai+1, Ai e Ai-1 da coluna 3 termos que : Ai+2 - 3Ai+1 + 3Ai _ Ai-1 = 1^3 = 1 E, de maneira geral, se tomarmos N+1 elementos consecutivos da coluna N, usamos os coeficientes numericos do desenvolvimento de (a+b) ^N, com os sinais alternativamente trocados, teremos que a soma do tipo acima exemplificada resulta em 1 : ( nao vou provar estas coisas aqui porque isso e muito mais coisas deriva naturalmente das diversas faces ocultas do TP ) Esse numero 1, um valor constante em todo TP, sera chamado de NIC* ( ele e muito importante ). Assim, o TP e um triangulo aritmetico com NIC = 1 O fato de no TP o NIC ser 1 esconde muitas coisas ... De fato, a expressao geral para o NIN de um triangulo aritmetico e um polinomio de coeficientes interessantes ( que depende das faces, conforme ja falei ) na variavel NIC. No TP, ao introduzirmos meios aritmeticos em todos o triangulo, vale dizer, usar os coeficientes de (a+b) ^(N/2), N = ... -2,-1,0,1,2,..., teremos que : Ai+1 - 2Ai + Ai-1 = (1/2)^2 na coluna 2 Ai+2 - 3Ai+1 + 3 Ai - Ai-1 = (1/2)^3 na coluna 3 e assim sucessivamente Se, no TP, introuzirmos os "termos aritmeticos, vale dizer, colocarmos entre as linhas os coeficientes de (a+b)^(N/3), N = ... -2, -1, 0, 1, 2, ... teremos que : Ai+1 - 2Ai + Ai-1 = (1/3)^2 na coluna 2 Ai+2 - 3Ai+1 + 3 Ai - Ai-1 = (1/3)^3 na coluna 3 Agora, va introduzindo meior, tercos, quartos etc aritmeticos no TP e use este resultado para obter algo inedito, vale dizer, a expressao de 1 + (1/2)^3 + (1/3) ^3 + ... Como uma soma de coeficiente binomiais ( conforme ja propus aqui ) sem nenhuma NENHUMA potencia negativa. Isso, que por si so e inedito e que levaria muito matematico correr para publicar, e uma mera e simples aplicacao do "sonho de uma noite de verao" *O NIC e o nucleo dessa teoria. Nao e tao simples descobrir a expressao dele. Um primeiro passo e descobri as faces ocultas de ja falei. O Termo NIC deriva de NICOLAU SALDANHA. Eu descobri e desenvolvi estas coisas pouco antes de ingressar nesta lista, ha cerca de 10 anos atras. O Nicolau, alem de criar este maravilhoso espaco de discussao, me recebeu ( como recebe a todos ) muito bem e foi o meu modelo de Inicial de Matematico. Assim, nada mais justo que dar a um elemento importante da minha teoria o nome do amigo e mestre que no inicio me guiou e que desde sempre mereceu e merce a minha mais elevada estima e consideracao.. Assim, e uma forma de um Matematico ( Eu, Paulo Santa Rita ) homenagear outro Matematico ( Nicolau Saldanha ). Um Abraco a Todos PSR, 10305091629 2009/5/3 Carlos Nehab <ne...@infolink.com.br>: > Oi, Paulo, > > Simplemente delicioso o texto e o conteúdo, mas... implore a sua esposa para > não acordá-lo quando dormir sobre o teclado... > Sonhe mais, por favor... > > Abraços, > Nehab > > Paulo Santa Rita escreveu: > > Ola Benedito e demais > colegas desta lista ... OBM-L, > ( escreverei sem acentos ) > > > > > From: "benedito" <bened...@ufrnet.br> > para paulo.santar...@gmail.com > data 2 de maio de 2009 09:16 > assunto Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz > > > Paulo, > > Desculpe-me a intimidade explícita na mensagem. > Na verdade, estava passando esta beleza de raciocíonio para um Amigo, também > Professor de >Matemática na minha cidade, que também se chama Paulo, para os > íntimos Paulinho. > Por engano, repassei a mensagem para obm-lista. > Desculpe-me. > Benedito > > > Tudo bem, nao fiquei chateado. > > Voce gostou ? Vou supor que sim. Aperte os cintos porque vamos > decolar. Vamos ver os elementos iniciais de "um sonho de uma noite de > verao". > > Eu estava em casa. Eram cerca de duas horas da madrugada. Nao sei > exatamente o dia, mas sei que estava feliz, trabalhando no Maxima ( > http://maxima.sourceforge.net/ ) sobre o glorioso Debian/GNU Linux ( > http://www.br.debian.org/ ). Havia descoberto um fato interessante > sobre sequencias de inteiros que sao expressas por duas ou mais > sentencas, tais como a famosa sequencia de Lucas ( Aqui conhecido como > Problema 2N+1 ). > > Eu fazia algumas simulacoes no Maxima, quando entao devo ter dormido > sobre o teclado. > > Sonhei entao que os numeros binomiais Bi(N,P) que constituem o > triangulo de Pascal eram interpretados e representados de outra > forma... Ao inves de interpretar Bi(N,P) como o numero de combinacoes > de P elementos que se pode fazer com N elementos, interpretava-se > Bi(N,P) como o numero de permutacoes de N elementos, N-P de um tipo, > iguais entre si e indistinguiveis; P de outro tipo, iguais entre si e > indistinguiveis. > > No sonho, Bi(N,P), com esta nova interpretacao, era representado assim : > [N-P,P] > > Eu fiquei curioso com esta ligeira modificacao na interpretacao e > queria saber o motivo. Foi entao quando escutei uma voz distante dizer > : "E para que voce, ao ver as faces ocultas do triangulo de Pascal, > continue podendo dar uma unica e uniforme interpretacao combinatoria". > Na hora nao entendi direito, pois, afinal, o que seriam estas "faces > ocultas do traingulo de Pascal ?" Mas deduzi imediatamente que : > > [m,n] = (m+n) ! / ( m! * n! ) =Bi(m+n,n) > > Foi logo apos esta simples deducao que surgiu na minha frente um > triangulo de Pascal com os numeros binomiais na sua nova > representacao. Ele apareceu assim : > > ... > [0,4] ... > [0,3], [1,3] ... > [0,2], [1,2], [2,2] ... > [0,1], [1,1], [2,1], [3,1] ... > [0,0], [1,0], [2,0], [3,0], [4,0] ... > > Quando olhei esse triangulo, ficou claro para mim que a notacao "entre > colchetes", [m,n], era para diferenciar as coordenadas (m,n) de um > ponto do valor [m,n]=(m+n)! / (m! * n!) ATRIBUIDO ao ponto (m,n). > Assim, entendi logo que [m,n] era o valor ( ou "imagem") de uma funcao > no ponto (m,n). Assim, com a notacao [m,n] voce representava tanto o > valor como o "lugar" no plano cartesiano XoY onde o valor deveria ser > colocado. > > O triangulo de Pascal era portanto apenas uma particular funcao de N x > N em N ( aqui, devemos supor N={0,1,2,3, ...}, isto e, com o zero ). > > Mas o que me causou surpresa, mesmo, foi ver como eram representados > os coeficientes numericos ( coeficientes trinomiais ) da expansao de > (a+b+c)^N. Naquele estranho lugar que eu estava, eles simplesmente > representavam o triangulo de Pascal na forma como descrevi acima nos > tres pares de eixos coordenados, acrescentando simplesmente um zero de > forma conveniente. Assim : > > Triangulo no plano XoY ( acrescente um zero no fim ) > ... > [0,4,0] ... > [0,3,0], [1,3,0] ... > [0,2,0], [1,2,0], [2,2,0] ... > [0,1,0], [1,1,0], [2,1,0], [3,1,0] ... > [0,0,0], [1,0,0], [2,0,0], [3,0,0], [4,0,0] ... > > Triangulo no plano XoZ ( acrescente um zero no meio ) > ... > [0,0,4] ... > [0,0,3], [1,0,3] ... > [0,0,2], [1,0,2], [2,0,2] ... > [0,0,1], [1,0,1], [2,0,1], [3,0,1] ... > [0,0,0], [1,0,0], [2,0,0], [3,0,0], [4,0,0] ... > > Triangulo no plano YoZ ( acrescente um zero no inicio ) > ... > [0,0,4] ... > [0,0,3], [0,1,3] ... > [0,0,2], [0,1,2], [0,2,2] ... > [0,0,1], [0,1,1], [0,2,1], [0,3,1] ... > [0,0,0], [0,1,0], [0,2,0], [0,3,0], [0,4,0] ... > > Eu logo entendi porque se procedia assim, pois, dado a uniformidade de > interpretacao e de calculo, um trio [m,n,p] so podia ser interpretado > como o numero de permutacoes de m+n+p objetos dos quais "m" sao de um > tipo, indistinguiveis entre si; "n" sao de outro tipo, indistinguiveis > entre si e, finalmente, "p", sao de um terceiro tipo, tambem > indistinguiveis entre si. Portanto : > > [m,n,p]=(m+n+p) ! / (m! * n! * p! ) > > como, obviamente, [m,n,p]=[m,p,n]=[n,m,p]=[n,p,m]=[p,n,m]=[p,m,n], > acrescentar um zero em qualquer posicao de [m,n] e equivalente ao > numero [0,m,p] e teremos : > > [0,m,n]= (0+m+n)! / (0! m! p!) = (m+n)! /(m! * p!) = [m,n] > > E aqui eu finalmente entendi porque usar a interpretacao com base em > permutacoes, pois, caso em parmanecesse com a interpretacao de > combinacoes nao seria capaz de expandir a representacao com a mesma > facilidade e uniformidade. > > Com esta representacao, que no meu sonho era chamada de PIRAMIDE DE > LEIBNITZ, a expansao de (a+b+c)^N era um PIRAMIDE TRIANGULAR REGULAR, > na qual cada face era um UM PARTICULAR TRIANGULO DE PASCAL. Assim, > por exemplo, para sabermos os coeficientes de (a+b+c)^3, bastava > seccionar a piramide de Leibniz pelo plano X+Y+Z=3. As interseccoes > assim obtidas eram simultaneamente os lugares e os valores dos > coeficientes dos monomios que constituem a expansao de (a+b+c)^3 > > Como exemplo, o ponto V=(1,1,1) e o "lugar" do monomio > (a^1)*(b^1)*(c^1) e o coeficiente deste monomio e o numero [1,1,1] = > (1+1+1) ! / ( 1! * 1! * 1! ) = 6 . O ponto R=(2,0,1) e o "lugar" do > monomio (a^2)*(b^0)*(c^1)=(a^2)*(b^1) e o coeficiente deste monomio e > o numero [2,0,1]=[2,1]=(2+1)! / (2! * 1!) = 3. E assim sucessivamente. > > Para mim, neste ponto, ficou claro como representar a expansao de (X1 > + X2 + ... + Xm) ^N. Bastava, obvio, ir para o R^M e seccionar a > correspondente PIRAMIDE DE LEIBNIZ com o plano X+Y + ... ( M variaveis > ) = N. As solucoes inteiras e nao-negativas desta equacao sao os > "lugares" e os valores dos coeficientes da expansao. > > A VERDADEIRA RIQUEZA ESTA NO INTERIOR > > Mas, no inicio do sonho, uma voz havia me dito que tudo aquilo era > para que eu pudesse ver as faces ocultas do traingulo de Pascal. > Lembrei-me disso, no sonho. E eis que aquela mesma voz fixou os meus > olhos num ponto V=(1,1,1), lugar de "abc" na expansao de (a+b+c)^3 e > no qual devemos por o coeficiente [1,1,1]=6. > > Sob este ponto, ao aproximar os meus olhos, vi as letras > V.I.T.R.I.O.L. Minha formacao Iniciatica me permitil deduzir > imediatamente que aquilo era uma abreviacao para : "Visita Interiora > Terrae Retificando que Invinies Occultum Lapidem" E, fiat luz, a luz > se fez. Numa fracao de segundos, tudo ficou claro. Entendi tudo : > > O ponto V=(1,1,1) nao pertence a qualquer da faces da Piramide de > Leibniz, pois ele nao contem um ou mais zeros. Ao seccionar esta > piramide pelo plano X+Y+Z=4 com o objetivo de encontrar os lugares e > coeficientes de (a+b+c)^4, acharemos os pontos I=(1,2,1) , T=(1,1,2) > e R=(2,1,1). Ora, os pontos V, I, e T definem UM PLANO PARALELO ao > plano YoZ, os pontos V, I e R definem UM PLANO PARALELO ao plano XoY > e, finalmente, os pontos V, T e R definem UM PALNO PARALELO ao plano > XoZ, ou seja, a partir de V=(1,1,1) surgira, no interior da piramide > de Leibniz, UMA NOVA PIRAMIDE CUJAS FACES SAO PARALELAS AS FACES DA > PIRAMIDE DE LEIBNIZ. > > Ficou claro para mim naquele ponto do sonho que para todo N=3K, > K=1,2,3, ... a interseccao de X+Y+Z=N com a piramide de Leibniz faria > surgir um ponto (K,K,K) que daria origem a uma nova piramide, mais > interna, cujas faces seriam paralelas as faces das piramides mais > externas. > > A intuicao infantil, o sonho, tinham confirmado as minhas suspeitas. > Eu tinha VISTO ou ADVINHADO as faces ocultas do triangulo de Pascal. > Agora era tudo simples e maravilhoso. Por que ? Por que apos ver o > objeto, bastaria eu caracterizar estas "folheacoes discretas" e > proceder como Arquimedes fez ... > > ( A area do circulo é pi*(r^2) = ( (2pi*r)*r ) /2 = area de um > triangulo retangulo que tem para altura o raio do circulo e para base > o comprimento da circunferencia => volume da esfera = volume de um > cone que tem para altura o raio e para base a area da esfera => > (4/3)pi*(r^3) = (1/3)r* S => S=4pi*(r^2) ) > > Ou seja, na validade de uma relacao qualquer entre numeros binomiais > do triangulo de Pascal, supor que isto seja um caso particular das > piramides de Leibniz e extrapolar a relacao para os numeros > multinomiais quaisquer, dado a imensa simetria do objeto que > contemplamos. > > Assim, o meu trabalho naquele momento era caracterizar as faces > ocultas e estudar como poderia aplicar suas propriedades, que esperava > serem notaveis, na solucao de problemas que sem tal visualizacao ficam > muito dificeis. > > Mas, que balanco e esse ? Diante de tao maravilhosa visao algo me > arrancava brutalmente daquele paraiso. Seria Satanas, que nao gosta > que o homem aprecie as coisas de Deus ? ... > Que nada, era a minha mulher me acordando e me tirando de cima do > teclado. Eu havia dormido no escritorio la de casa e, ja tendo > amanhecido, precisava me arrumar para ir trabalhar ... > > Um Abracao a Todos ! > PSR, 70205091830 > > 2009/4/29 benedito <bened...@ufrnet.br>: > > > Show de bola, Paulinho. > Benedito > > > ----- Original Message ----- From: "Paulo Santa Rita" > <paulo.santar...@gmail.com> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br> > Sent: Wednesday, April 29, 2009 10:54 AM > Subject: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz > > > > > Ola Pessoal, > > O Binomio de Newton e um assunto tipico da Matematica do ensino medio. > Ele da origem a questoes interessantes, algumas ja discutidas aqui > nesta. Um aspecto "curioso" deste tema > e que podemos olhar a expansao como disposta ao longo de uma reta, > numa ordem implicita. Assim : > > (a+b)^N = a^n + N*(a^(n-1))*b + ... + N*a*(b^(n-1)) + b^n > > E nos falamos com naturalidade no "primeiro termo da expansao", no > "segundo termo" e assim sucessivamente, firmando-nos nos expoente de > "b" ( ou de "a") que funcionam como um indice. Inclusive os livros > falam em algo como, "excontre o decimo termo da expansao de > (2x-3y)^15", implicitamente admitindo este tipo de ordenacao. > > E na expancao, digamos, de um trinomio do tipo (2x-3y+y)^15 ? Quem e o > "decimo" termo ? Aqui, NA AUSENCIA DE UMA REPRESENTACAO CONSISTENTE, > uma tal questao e INDETERMINADA, pois precisamos acrescentar mais > algumas informacoes. > > Seria possivel uma representacao consistente ? Uma maneira de olhar as > coisas que preservasse a visao habitual e lhe acrescentasse alguma > novidade ? Eu lembro que a ordem habitual no Binomio de Newton segue o > triangulo de Pascal ... > > Bi(0,0) > Bi(1,0),Bi(1,1) > Bi(2,0),Bi(2,1),Bi(2,2) > ... > > Onde Bi(N,P)=N!/( (P!)*( (N-P)! ) ) > > Portanto, usando o triangulo de Pascal ( preservando sua principais > leis e propriedades ) e possivel encontrar uma representacao > consistente, um "lugar" onde colocar os termos da expansao de (X1 + X2 > + .... + Xm)^N ? > > Note que uma tal construcao significaria, em parte ( existe uma outra > parte, mais dificil ), ver o famoso triangulo pascalino apenas como a > ponta de um iceberg, descortinando parte da superestrutura que lhe da > suporte ... > > Entao : como e a parte imersa do iceberg ? > > Um Abraco a Todos ! > PSR, 42904091050 > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
