(por precaução tô mandando outra vez sem reply)
Oi, Luís
Primeiro vamos ao exercício e 'a sugestão que você lembrou: Produtos
Notáveis
Repetindo o enunciado para quem nos acompanha (mudei apenas letra):
Se a + 1/a = (raiz(5) + 1)/2 calcule a^2000 + 1/a^2000
A solução clássica e a mais elegante (por complexos) é de fato a que o
Macio Pinheiro postou, mas dá para fazer usando a sugestão.
Obs (apenas para quem já estudou um pouquinho de recorrência linear)
Por recorrência linear, que também seria um caminho imediato enrola pois
as raízes do polinômio característico são nojentas e obviamente
complexas. Veja: se A(n) = a^n + 1/a^n é imediato que A(n) = a.A(n-1) -
A(n-2) e a equação característica é z^2 - az +1 = 0 onde a é o (raiz(5)
+1)/2. Nojento (se alguém encontrar uma saída por ai, por favor,
poste-a)....
Solução (sem complexos - metaforicamente ou não... :-) )
Vamos então:
Como 2000 = 5^3.2^4, temos que ver se conseguimos (sem muitas contas
chatas) replicar o cálculo de
x^5 + 1/x^5 a partir de x + 1/x, três vezes, para calcularmos x^125 +
1/x^125
e
y^2 + 1/y^2 a partir de y + 1/y quatro vezes, para calcularmos y^16 +
1/y^16 (onde, é claro, o y será x^125 e assim obteremos o x^2000 +
1/x^2000)
Não é tão enrolado assim, se formos com calma:
Vamos fazer
(raiz(5) +1)/2 = P e (0)
(raiz(5) -1)/2 = p (0)
Para calcularmos x^5 + 1/x^5 a partir de X = x + 1/x, passamos pelo x^2
+ 1/x^2 e x^3 + 1/x^3 (simples e clássicos)
Vejamos (produtinhos notáveis):
x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2 = X^2 - 2 (1)
x^3 + 1/x^3 = (x + 1/x)^3 - 3 (x +1/x) = X^3 - 3X = X(X^2 -3) (2)
Logo,
x^5 + 1/x^5 = (x^3 + 1/x^3).(x^2 +1/x^2) - (x +1/x)
x^5 + 1/x^5 = (X^3 - 3X).(X^2 - 2) - X = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] (3)
Parece que as contas serão esquisitas, mas nem tanto, pois P e p são
MUITO simpáticos... e razoavelmente bonzinhos...
Aplicando (1), (2) e (3) várias vezes e lembrando de (0), onde definimos
P e p, chegaremos no resultado.
Vejamos:
De x = a e X = a + 1/a = P em (3) obtemos
a^5 + 1/a^5 = X(X^2 -3)(X^2 -1) - X= P[(P^2 -3)(P^2 - 2) - 1] = -2
(valor já esperado - vide solução do Marcio: a = cis 36, logo a^5 = -1
e 1/a^5 = -1).
De x = a^5 e X = a^5 + 1/a^5 = -2 em (3), obtemos
a^25 + 1/a^25 = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] = -2 (que também é óbvio para
quem viu o cis 36)
De x = a^25 e X = a^25 + 1/a^25 = -2 em (3) obtemos
a^125 + 1/a^125 = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] = -2
Agora basta usar (1) 4 vezes e as contas são óbvias e iguais a 2, sempre...
De x = a^125 e X = a^125 + 1/a^125 = -2 em (1)
a^250 + 1/a^250 = (2)^2 -2 = 2
De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1)
a^250 + 1/a^250 = 2^2 -2 = 2
De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1)
a^500 + 1/a^500 = 2^2 -2 = 2
De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1)
a^500 + 1/a^500 = 2^2 -2 = 2
Na verdade (como era de se esperar), a^250 + 1/a^250 = a^500 + 1/a^500 =
a^1000 + 1/a^1000 = a^2000 + 1/a^2000 = 2
Abração,
Nehab
PS:
Caramba, Luis, apostila de Trigonometria? Pois é, eu lembrei que fiz a
primeira apostila de Algebra Linear (com o Cesar Salim) quando este
negócio começou a entrar no Vestibular do Rio (acho que em 1971 ou 2).
O Ponce aqui da lista (o quase velho :-) ) recentemente teve a gentileza
de me emprestar as apostilas de Cálculo e Lógica que eu andei fazendo lá
pelos idos de 1970 (caramba, que loucura) nas turmas IME/ITA (ihhhhh,
nem devolvi ainda !!! ). Não há a menor chance de usar este material
hoje. As coisas mudaram um pouquinho. Eu enfatizava o aprendizado de
Lógica com o primeiro passo para os alunos se alfabetizarem em
Matemática. Hoje isto tem pouquíssimo ibope...mas ainda funciona.. :-D
, alías funciona desde o início dos tempos, né, desde pelo menos um tal
de Aristóteles que também não tem muito ibope hoje... Como diz o
Zygmund Bauman (um sociólogo que alguns acham meio pessimista, mas eu
particularmente sou seu admirador), é um sinal da Modernidade
Líquida..., título de seu livro mais interessante (uma bela metáfora
para os tempos pós modernos, né?)... Aliás é o único livro que indico
dele. O cara é extremamente criativo.
Luís Lopes escreveu:
Oi Nehab,
É verdade. Mas isso está acontecendo com outras
listas também.
> A propósito, era para calcular x^200 + (1/x)^200
>(se é o problema que estou pensando)
Acho que era x^2000 + (1/x)^2000 (detalhe).
Mas a sugestão(?) era pra começar calculando
[x + x^(-1)]^2. Tentei nessa linha e não consegui
nada.
Mas a solução mandada é muito boa.
Ah, me lembrei que tenho também uma apostila de
G. Espacial do Célio. Mas como ela "apareceu" um
dia lá em casa (irmãos mais velhos, amigos dos
irmãos mais velhos que estudavam lá m casa etc)
não me lembro da sua procedência. E nunca me
detive nela.
E já que toquei nisso.... tenho também uma sua
de Trigonometria, "espólio" do material do Impacto
de um irmão nesse caso mais novo.
[]'s
Luís
> Date: Fri, 8 May 2009 16:23:26 -0300
> From: [email protected]
> To: [email protected]
> Subject: Re: [obm-l] produtos notaveis
>
> Oi, Luís,
>
> Comigo também. Desanimador.
> Eu diria que de cada 2 mensagens minhas uma vai e a outra não.
> Fora o fato de, muitas vezes, a mensagem chegar "lá" mais de 24 horas
> depois, em especial nos fins de semana.
>
> Acho que o Nicolau viaja e o servidor aproveita para dar uma
> descansadinha...
>
> A propósito, era para calcular x^200 + (1/x)^200 (se é o problema que
> estou pensando)
>
> Grande abraço,
> Nehab
>
> Luís Lopes escreveu:
> > Sauda,c~oes,
> > Oi Márcio Pinheiro,
> >
> > Se não estou enganado, a sugestão era calcular
> > [x + x^(-1)]^2. Mas realmente não me lembro se
> > houve tal mensagem. E não quero olhar os arquivos.
> >
> > Tento mandar esta mensagem fazendo <nova mensagem>.
> > Com reply minhas mensagens ou não chegam ou preciso
> > mandá-las diversas vezes. Isso acontece com mais alguém?
> >
> > Agradeço as últimas mensagens do PSR e Nehab sobre DG.
> >
> > []'s
> > Luís
> >
> >
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> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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