Olá Thelio e Mestre Ralph Muito pertinentes os comentários do Ralph. Realmente, deve haver extremo esmero na formulação dos enunciados, sobretudo quando o assunto é probabilidades, que costuma causar confusão justamente por causa das ambiguidades nos enunciados.
Bem, não custa, agora, apresentar uma solução diferente para esta questão: Exibir um "resultado" é uma tarefa que pode ser realizada em 3 etapas sucessivas: 1ª Etapa) Escolha das 3 frutas que irão comparecer no resultado: C(6,3)=20; 2ª Etapa) Escolha da fruta que comparecerá 2 vezes no resultado: C(3,1)=3; 3ª Etapa) Escolha das 2 posições destinadas às frutas desiguais: A(4,2)=12 Pelo Princípio Fundamental da Contagem há: 20 X 3 X 12 = 720 possíveis resultados, e, como escreveu o Ralph, já que eles são todos igualmente prováveis, a probabilidade pedida é 720/1296=5/9. Vale notar que a 3ª etapa poderia ser: "posicionar as 4 frutas", ou seja, fazer uma permutação de 4 elementos, sendo 2 repetidos, o que equivaleria exatamente a calcular os anagramas da palavra BALA. (B de Banana, A de Amora, L de Laranja e A de Ameixa) Então (só para o Thelio ter uma visão geral) o que se quer nesse problema, em última análise, é fazer uma permutação de 4 elementos, sendo que dois deles são iguais entre si. Mas antes de fazer essa permutação com elementos repetidos, precisamos escolher as frutas, o que foi feito nas etapas 1 e 2. Finalmente, acho que um enunciado que seria aprovado pelo Mestre Ralph seria assim: (corrija-me se estiver errado, mestre, porque quero aplicar essa questão em um simulado) Numa máquina de caça-níquel, cada resultado é formado por 4 quaisquer de 6 frutas diferentes. Supondo que um resultado pode apresentar frutas repetidas, calcule a probabilidade de um resultado apresentar duas frutas iguais e duas outras frutas diferentes entre si. Abraços, Palmerim 2009/5/8 Ralph Teixeira <[email protected]> > Oi, Thelio. > > Vamos fazer as seguintes hipóteses: > > a) O resultado é formado por 4 símbolos; (isto está bem explícito em > "4 quaisquer"...) > b) Cada símbolo pode ser uma de seis frutas, que designarei por A, B, > C, D, E, F (também razoavelmente explícito em "de 6 frutas > diferentes..."); > c) Um resultado pode apresentar símbolos iguais (por exemplo, pode ser > AADE) -- isto está dito, mas com um português ligeiramente ambíguo; > digo isso pois **gramaticalmente** "podendo haver repetição" poderia > se referir a "4 símbolos" ou a "6 frutas"... mas faz mais sentido se > for "4 símbolos, podendo haver repetição", que é a minha > interpretação; a outra interpretação, "6 frutas diferentes, podendo > haver repetição" é meio contraditória... > d) Em cada símbolo, cada fruta tem a mesma probabilidade de aparecer > (razoável, mas não é nem um pouco óbvio; aliás, só vou supor isso > porque tenho que resolver o problema e ele não indicou as > probabilidades de cada fruta; num caça-níqueis de verdade, isto não > costuma ser verdadeiro); > e) Os 4 símbolos são independentes entre si, isto é, o símbolo que > aparece na primeira "janela" não afeta de maneira alguma o símbolo da > "segunda" (bem razoável, mas também não é certo no caso geral). > f) O que o enunciado quer é a probabilidade de aparecerem 3 frutas > distintas, sendo uma delas repetida (se eu quisesse ser muito muito > chato, diria que AABB tem duas frutas AA iguais e duas frutas BB > desiguais **da primeira** -- não acho que era isso que o enunciado > "tinha em mente", acho que eles querem dizer, "duas frutas iguais e > duas OUTRAS, desiguais ENTRE SI."). Em linguagem de pôquer: qual é a > chance de dar "um par"? > > Agora sim, com tudo destrinchado, eu consigo resolver o problema. Há > 6.6.6.6=1296 possíveis resultados, todos igualmente prováveis graças a > (d) e (e). Quantos são da forma XXYZ (ou permutações)? > i) Primeiro, vou escolher as frutas que vão aparecer na minha > sequencia: note que X é bem distinto de Y e Z, que são intercambiáveis > neste momento. Há 6 maneiras de escolher X; agora, há C(5,2) maneiras > de escolher as frutas Y e Z. Então há 6.C(5,2)=60 maneiras de escolher > as frutas que aparecerão no meu resultado. > ii) Mas ainda temos que determinar a ordem em que as frutas aparecerão > no resultado. Há 4 lugares para Y, restam 3 lugares para Z e os outros > têm de ser X. Ou seja, para cada escolha das frutas X, Y e Z que vão > aparecer (onde X é a letra a ser repetida), há 4.3=12 maneiras de > posicioná-las. > iii) Juntando tudo, são 60.12=720 possíveis resultados do tipo "um > par". Como eles são todos igualmente prováveis, a probabilidade pedida > é 720/1296=5/9. > > Bom, espero não ter errado bobagens, estou meio sem tempo para > conferir o que escrevi. > > Abraço, > Ralph > > 2009/5/7 Thelio Gama <[email protected]>: > > Bom dia Professores, > > estou bastante confuso com o seguinte problema e agradeço se puderem > fazer a > > gentileza de explicá-lo : > > Numa máquina de caça-níquel, cada resultado é formado por 4 quaisquer de > 6 > > frutas diferentes, podendo haver repetição. Calcule a probabilidade de um > > resultado apresentar duas frutas iguais e outras duas desiguais. > > Obrigado, > > Thelio > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Palmerim
