Caro Luís,
Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se
acha um pouco de tempo para um probleminha desses.
Eu resolvi assim:
Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC
tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede
para determinarmos a reta suporte do lado AB
passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c.
Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a
mesma letra C para denotar duas coisas distintas
(o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto
deixa claro do que estamos falando.
Pela lei dos senos no triângulo ABC:
(1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta)
(2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta)
Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar
uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema:
(3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b
(4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a
=> (transformação em produto)
(5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab)
(6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab)
=>
(7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab)
(8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab)
=> (relação trigonométrica fundamental)
(9) [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2
=>
(10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2 - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | )
Ou seja, "basta" você construir no braço a expressão acima para determinar
o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza,
um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma
construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um
pouco mais simples.
Abraço,
sergio
>Sauda,c~oes,
> Aqui CD_c = d_c é o comprimento da bissetriz interna de C.
> Há muitas maneiras de se construir um triângulo com
> estes dados.
> Folheando um livro do Virgilio encontrei uma outra.
> Bem, quase.
> Sejam os círculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a).
> Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela.
> Até aqui é a sugestão do Virgilio.
> Agora o problema aparece: construir uma reta <p>
> passando por D_c tal que se <p> intersecta phi_1
> e phi_2 em A e B, respectivamente, então
> AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes).
> Como fazer?
> []'s
> Luís
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Sergio Lima Netto
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