Sauda,c~oes, Oi Sergio,
Essa sua solução (confesso que não me detive nela) não segue o espírito das construções geométricas. Pode no máximo mostrar que o problema possui uma solução geométrica. Conheço muitas construções elegantes com estes dados. Pensei ontem e consegui a construção sugerida no Virgilio. Repito o início da construção: Sejam os círculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a). Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela. Até aqui é a sugestão do Virgilio. Agora o problema aparece: construir uma reta <p> passando por D_c tal que se <p> intersecta phi_1 e phi_2 em A e B, respectivamente, então AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes). Ou seja, o ponto B possui duas propriedades: 1) pertence a phi_2; 2) é a imagem de A pela homotetia inversa de centro D_c e razão a/b. Como A pertence a phi_1, então B pertence ao círculo phi'_1, transformado de phi_1 pela mesma homotetia. Descrever a constução de phi'_1 é um pouco longo e complicado sem uma figura. O livro do Wagner mostra como fazer na página 83. Ache B como interseção de phi_2 e phi'_1. A reta (B,D_c) é a reta <p> pedida. []'s Luís > From: [email protected] > To: [email protected] > Subject: Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c > Date: Wed, 3 Jun 2009 10:32:57 -0200 > > Caro Luís, > > Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se > acha um pouco de tempo para um probleminha desses. > > Eu resolvi assim: > > Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC > tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede > para determinarmos a reta suporte do lado AB > passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c. > > Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a > mesma letra C para denotar duas coisas distintas > (o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto > deixa claro do que estamos falando. > > Pela lei dos senos no triângulo ABC: > > (1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta) > (2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta) > > Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar > uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema: > > (3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b > (4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a > > => (transformação em produto) > > (5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab) > (6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab) > > => > > (7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab) > (8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab) > > > => (relação trigonométrica fundamental) > > (9) [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2 > > => > > (10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2 - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | ) > > Ou seja, "basta" você construir no braço a expressão acima para determinar > o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza, > um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma > construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um > pouco mais simples. > > Abraço, > sergio > _________________________________________________________________ Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é grátis! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmail&utm_medium=Tagline&utm_campaign=IE8
