Uma forma facil de ver isto eh levar em conta que o limsup eh o maior dos
pontos de aderencia e o liminf eh o menor deles. Se lim a_n = L, entao todas as
subsequencias de a_n tem limite L, ainda que L nao seja + ou - infinito. Existe
uma subsequencia cujo limite eh lisup e outra cujo limite eh liminf. A
conclusao eh, entao, automatica. Eh facil ver que a reciproca tambem eh
verdadeira.
Da forma como vc fez, tambem da. Vc comecou certo. Para n > N, temos a - eps <
a_n < a + eps. A primeira igualdade implica que a - eps <= liminf a_n; e a
segunda que limsup a_n <= a + eps. Dai, vem a - eps <= liminf a_n <= limsup a_n
<= a + eps, o que implica que 0 <=limsup a_n - liminf a_n <= 2 eps. Como eps eh
arbitrario, segue-se que liminf a_n = limsup a_n.
Se liminf a_n = limsup a_n = a, entao, dado eps > 0, existem N1 e N2 tais que
n > N1 implica a - eps < a_n
n > N2 implica a_n < a + eps
Sendo N = máx {N1, N2}, para n > N temos que a - eps < a_n < a + eps, do que
deduzimos que lim a_n = a.
Artur
Date: Fri, 22 Jan 2010 15:18:07 -0200
Subject: [obm-l] analise na reta
From: fcostabarr...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Oi. Eu estou tentando provar que se existe lim(a_n) = a então devemos ter lim
inf (an) = lim sup(an) = a
Da seguinte maneira
Dado um eps>0 arbitrário, vai existir um N natural tal que n>N implica a_n
pertence a V(eps,a) = { a_n ; a-eps < a_n <a+eps}
Como
y_N = sup { a_k; k>=N}
a_k < a+e
para todo k>=N
logo a-eps <= a_k <= y_N <= a+eps
Mas eu não quero y_N = a+eps, pois quero provar que a-eps <y_n < a+eps para
n suficientemente grande, n>=N.
Ai eu não consegui fazer mais progresso. Ix empaquei.
Alguma dica??? Por favor não resolvam por mim.
Valeu
[]
F.
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