Do primeiro jeito, não basta ver que lim sup e lim inf *são* valores de
aderência?
Valeu ai pela ajuda.
2010/1/22 Artur Steiner <artur_stei...@hotmail.com>
> Uma forma facil de ver isto eh levar em conta que o limsup eh o maior dos
> pontos de aderencia e o liminf eh o menor deles. Se lim a_n = L, entao todas
> as subsequencias de a_n tem limite L, ainda que L nao seja + ou -
> infinito. Existe uma subsequencia cujo limite eh lisup e outra cujo limite
> eh liminf. A conclusao eh, entao, automatica. Eh facil ver que a reciproca
> tambem eh verdadeira.
>
> Da forma como vc fez, tambem da. Vc comecou certo. Para n > N, temos a -
> eps < a_n < a + eps. A primeira igualdade implica que a - eps <= liminf a_n;
> e a segunda que limsup a_n <= a + eps. Dai, vem a - eps <= liminf a_n
> <= limsup a_n <= a + eps, o que implica que 0 <=limsup a_n - liminf a_n <= 2
> eps. Como eps eh arbitrario, segue-se que liminf a_n = limsup a_n.
>
> Se liminf a_n = limsup a_n = a, entao, dado eps > 0, existem N1 e N2 tais
> que
> n > N1 implica a - eps < a_n
> n > N2 implica a_n < a + eps
>
> Sendo N = máx {N1, N2}, para n > N temos que a - eps < a_n < a + eps, do
> que deduzimos que lim a_n = a.
>
> Artur
>
> ------------------------------
> Date: Fri, 22 Jan 2010 15:18:07 -0200
> Subject: [obm-l] analise na reta
> From: fcostabarr...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
> Oi. Eu estou tentando provar que se existe lim(a_n) = a então devemos ter
> lim inf (an) = lim sup(an) = a
>
> Da seguinte maneira
>
> Dado um eps>0 arbitrário, vai existir um N natural tal que n>N implica a_n
> pertence a V(eps,a) = { a_n ; a-eps < a_n <a+eps}
>
> Como
> y_N = sup { a_k; k>=N}
>
> a_k < a+e
> para todo k>=N
> logo a-eps <= a_k <= y_N <= a+eps
>
> Mas eu não quero y_N = a+eps, pois quero provar que a-eps <y_n < a+eps
> para n suficientemente grande, n>=N.
> Ai eu não consegui fazer mais progresso. Ix empaquei.
> Alguma dica??? Por favor não resolvam por mim.
> Valeu
> []
> F.
>
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