Sim, eu roubei -- sabia que a=raiz(3)/3 era a resposta, entao a usei.
Se eu nao tivesse ideia da resposta, talvez eu pensasse assim: considere
g(t)=(a-a^3)-(t-t^3)=(t^2+at+a^2-1)(t-a)
Como eu quero que t=a seja maximizante da funcao t-t^3, este g(t) tem que
ser positivo **DOS DOIS LADOS DE a**. Mas a eh raiz de g(t), entao tem que
ser raiz dupla. Ou seja, t=a tem que ser raiz de
t^2+at+a^2-1=0
Jogue t=a nesta expressao e resolva para a. Depois continue como antes.
Num certo sentido, se alguem achou uma magica danada aquela fatoracao do
t^2+at+a^2-1 na resposta anterior, veja bem -- para t=a ser maximo, aquele
termo TEM QUE TER o fator t-a; eu tinha CERTEZA que este fator ia
aparecer... Esta solucao aqui mais ou menos explica o porque.
Abraco,
Ralph
Obs.: Eu nao sei qual eh o problema original, mas, serah que a interpretacao
geometrica da letra (a) nao facilitaria achar este maximo?
2010/1/25 marcone augusto araújo borges <[email protected]>
> Desculpe,mas n entendi por q a=raiz(3)/3.Eu encontrei o valor de a,após ler
> a solução,usando tg x = raiz(2),valor esse obtido´´derivando´´.
>
> ------------------------------
> Date: Mon, 25 Jan 2010 04:35:53 -0800
> From: [email protected]
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] máx e mín sem derivada
> To: [email protected]
>
> Nossa...
> Super obrigado, monstro!
> Me deparei com essa questão num livro de ensino médio. É item b de uma
> questão dita da fuvest. Não acredito que a fuvest tenha cobrado isso em
> nenhum momento de sua existência. O item a pedia o volume de um prisma em
> função de um ângulo x, resultando em [(sqrt3)/8][(sen x)^2.(cos x)]. O item
> b era essa selvageria.
> De qualquer maneira, valeu!
> Mais uma vez, obrigadíssimo!
> Um abraço!
> Grego
>
> --- Em *dom, 24/1/10, Ralph Teixeira <[email protected]>* escreveu:
>
>
> De: Ralph Teixeira <[email protected]>
> Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] máx e mín sem derivada
> Para: [email protected]
> Data: Domingo, 24 de Janeiro de 2010, 23:34
>
> Seja t=cosx. Entao sua funcao eh g(t)=(1-t^2)t=t-t^3.
>
> Bom, seja a=raiz(3)/3. Queremos provar que g(t)<=g(a) para todo t em
> [-1,1]. Vejamos:
>
> t-t^3 <= a-a^3 sse
> t-a <= t^3-a^3 sse
> (t-a) <= (t-a)(t^2+at+a^2) sse
> (t-a) (t^2+at+a^2-1) >= 0 sse
> (t-a) (t-a) (t+2a) >= 0
> (Esta fatoracao funciona pois -2a^2=a^2-1)
>
> e esta ultima desigualdade eh valida pois
> (t-a)^2 >=0 para todo t;
> t+2a >= -1+2a =(2raiz(3)/3)-1>=0 tambem sempre que t>=-1.
>
> Como a estah em [-1,1], e eu fiz tudo com sse, concluimos que g(a)=a-a^3 eh
> o maximo da funcao g no intervalo [-1,1].
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2010/1/24 grego
> <[email protected]<http://br.mc329.mail.yahoo.com/mc/[email protected]>
> >
>
> Olá!
> Alguém poderia por favor determinar o valor de x que maximiza a função f(x)
> = (sen x)^2.(cos x) sem derivar? Derivando, tg x = sqrt2.
> Um abraço!
> Grego
>
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