Oi Artur e Pedro, a grande dificuldade desta questão é ver que G(x) está realmente bem-definida, ou seja, que pegando os limites de f(x) para x-> a, a fora de X, eles existem e definem uma função contínua. Um exemplo disso seria, por exemplo, a função f(x) = 1/x que não é uniformemente contínua em (0,1], e portanto não podemos usar esse teorema para extendê-la a [0,1]. Um outro exemplo seriam funções definidas apenas nos racionais, mas de forma a fazer sempre uma oscilação muito grande (tipo raiz(x) em x=0), e portanto não dar para definir nos irracionais. A continuidade uniforme é exigida para evitar esses dois fenômenos.
Enfim, um esquema de prova seria o seguinte: Chame Y = fecho(X) 1) prove que para todo y em Y - X, existe lim x->y f(x). Chame esse número de G(y). Defina, obviamente, G(x) = f(x) para x em X. 2) use a continuidade uniforme de f em X para mostrar que G(y) é contínua nos pontos de X, mas com limites que podem vir por pontos de Y - X também. 3) use de novo a continuidade uniforme para mostrar que G(y) é contínua nos pontos de Y (agora a gente já sabe que funciona em X). Deve dar para provar de forma mais rápida, acho que um bom livro de análise / topologia de espaços métricos tem uma demonstração limpa disso. (enfim, a generalidade máxima é com espaços uniformes, mas isso é provavelmente abstrato demais para compreender o que está acontecendo) abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2010/3/27 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>: > Não sei se entendi bem o enunciado. Se entendi, então veja que, como f é > contínua, então, para todo real x, lim y -> x f(y) = f(x). Logo, para todo x > de X, temos que G(x) = f(x). Como f é uniformemente contínua em R, é > uniformemente contínua em todo subconjunto de R. Como G é a restrição de f a > X, a conclusão segue-se deste fato. > > > > Artur > > > > De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome > de Pedro Belchior > Enviada em: quinta-feira, 25 de março de 2010 22:07 > Para: Lista OBM > Assunto: [obm-l] Análise Real > > > > Alguém pode me ajudar neste exercício > > Dada f:x ->R uniformemente continua, defina G:X(barra) ->R pondo G(x) = f(x) > se x é um ponto isolado e G(x) = lim f(y) y->x se x é um ponto de > acumulação. Prove que G é uniformente continua e G(x) = f(x) para todo x em > X. > > > Agradeço a todos ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
