Pessoal, a idéia é bem interessante. Obrigado mesmo. Eder --- Em sáb, 15/1/11, Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]> escreveu:
De: Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]> Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] construir bijeção Para: [email protected] Data: Sábado, 15 de Janeiro de 2011, 6:06 2011/1/15 Pedro Angelo <[email protected]>: > eu tive a mesma dúvida um tempo atrás, e achei esse artigo aqui > http://planetmath.org/encyclopedia/ClosedOpen.html , que eu achei muito bom. > Ele dá duas demonstrações de que os dois conjuntos (o aberto e o fechado) > têm a mesma cardinalidade. A primeira delas é o seguinte "existe uma > injetiva de um no outro, e uma injeiva do outro no um, portanto pelo teorema > de Zwardjenjizfgyulpoz = Cantor-Bernstein-Schroder. Coitados deles, não mutile o nome assim ;-) (Ah, e o tal do teorema não é tão impossível assim de ser demonstrado não!! Não se deixem assustar, a idéia é muito bonita, e, de certa forma, intuitiva: vale a pena ver e entender) > existe uma bijeção entre os dois". Na segunda > demonstração, ele de fato constrói uma bijeção que é, em suma, o seguinte: > ele enumera o conjunto dos racionais entre 0 e 1, de modo que os dois > "primeiros" racionais sejam o próprio zero e o um. Aí ele faz uma bijeção > entre os dois conjuntos "arrastando" o conjunto dos racionais duas unidades > pra direita (ou seja, o "primeiro" racional vira o "terceiro", o "segundo" > vira o quarto, o terceiro vira o quinto, etc.), e deixando invarianes os > irracionais. > > eu levei um tempo até acreditar e entender. Quando eu tava pesquisando sobre > isso, eu tinha na cabeça a idéia de que essa bijeção tinha que ser contínua. > Agora eu já acho que é meio óbvio que não dá pra uma bijeção entre esses > dois conjuntos ser contínua. (essa em particular não é conínua em nenhum > ponto!) Talvez seja legal *provar* que não existe bijeção contínua entre [0,1] e (0,1). Dica: considere f: [0,1] -> (0,1) e em seguida f( (0,1] ). Outra coisa é que a sua bijeção pode ser bem simplesmente modificada (na verdade, segundo a idéia do Renji) : escolha em vez de todos os racionais, apenas uma quantidade infinita deles (tente "deixar a maior parte de lado", mesmo que isso não faça muito sentido...). Você pode pensar como "aproximações decimais de uma dízima periódica", por exemplo. Ao fazer isso, a função que você construir, com um "shift" nesse conjunto, e identidade no resto, será contínua em todos os pontos *exceto* no conjunto infinto que você escolheu (e no limite dele também, claro). Uma pergunta talvez mais difícil seria: será que é possível fazer uma bijeção de [0,1] em (0,1) que seja descontínua num número *finito* de pontos ? Se sim, qual é o mínimo de descontinuidades ? > boa sorte : ) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
