Opz, esqueci de 2 casos: v) a-b = 1 ; 2X+a+b = 99 vi) a-b = 99 ; 2X+a+b = 1
Bom, já vimos que o caso (vi) é impossível. Vamos tentar com o caso (v). Somando: 2X+2a = 100 => 2(X+a) = 100 => X+a = 50 Como N+100 = (X+a)^2 + 1, temos: N+100 = 50^2 + 1 => N = 2401 = 49^2 Assim, temos X=49, a=1, b=0.... DENOVO?? Bom, conforme já esperávamos, N+200 = 2601 = 51^2.... Opa! Achamos uma solução... mas daí temos b=2... o que está errado? Olhando abaixo, vi que subtrai e errei o sinal!! Na verdade, temos: 99 = (b-a)(2X+a+b) Desta maneira, b-a=1, como a=1, temos b=2. ;) Logo, N=2401 :D Abraços, Salhab 2011/1/18 Marcelo Salhab Brogliato <[email protected]> > Olá Marcelo, > > N = X^2 > N+100 = (X+a)^2 + 1 = X^2 + 2aX + a^2 + 1 > N+200 = (X+b)^2 = X^2 + 2bX + b^2 > > Como N = X^2, temos: > 100 = 2aX + a^2 + 1 > 200 = 2bX + b^2 > > Subtraindo: > 100 = 2(a-b)X + (a+b)(a-b) + 1 > 99 = (a-b)(2X+a+b) > > Mas, temos que: 99 = 3*33 = 3*3*11 = 9*11 > Logo, temos que ter: > > i) a-b = 3 ; 2X+a+b = 33 > ii) a-b = 11 ; 2X+a+b = 9 > iii) a-b = 33 ; 2X+a+b = 3 > iv) a-b = 9 ; 2X+a+b = 11 > > Sabemos que X>=0, a>=0 e b>=0, visto que N aumentou. > Portanto, 2X+a+b >= a-b. Invalidando as opções (ii) e (iii). > > i) a-b = 3 ; 2X+a+b = 33 > Somando, temos: 2X+2a = 36 => 2(X+a) = 36 => X+a = 18 > Como N+100 = (X+a)^2 + 1, temos: N+100 = 18^2 + 1 => N = 225 = 15^2 > Assim, temos X=15, a=3 e b=0.... b=0??? > Infelizmente, N+200 = 425, que não é quadrado perfeito. =/ > > iv) a-b = 9 ; 2X+a+b = 11 > Somando, temos: 2X+2a = 20 => 2(X+a) = 20 => X+a = 10 > Como N+100 = (X+a)^2 + 1, temos: N+100 = 10^2 + 1 => N = 1 = 1^2 > Assim, temos X=1, a=9, b=0.... denovo b=0??? > Infelizmente, N+200 = 201, que não é quadrado perfeito. =/ > > Desta maneira, ou eu errei alguma coisa, ou não existe tal N. heheheh :( > > Abraços, > Salhab > > > > > 2011/1/18 Marcelo Costa <[email protected]> > > O número N de alunos de uma escola era um quadrado perfeito. Depois, com um >> aumento de 100 alunos, o número total passou a ser uma unidade maior que um >> quadrado perfeito. Depois, com um novo aumento de 100 alunos, o número total >> de alunos voltou a ser um quadrado perfeito. CALCULE o valor de N. >> >> Obrigado pela atenção! >> > >
