OBM 2010 Terceira Fase
PROBLEMA 3 Qual é a maior sombra que um cubo sólido de aresta 1 pode ter, no sol a pino? Observação: Entende-se “maior sombra de uma figura no sol a pino” como a maior área possível para a projeção ortogonal da figura sobre um plano. O que me perturba é que a resolução desse site dá que a maior sombra tem área sqrt(6) - 1 http://files.supergel57.webnode.com.br/200000496-53215537a7/Resolu%C3%A7%C3%A3o%208.pdf Mas tome o seguinte: Coloque qualquer vértice do cubo (A) em contato com um plano de modo que o vértice oposto (B) forme uma reta perpendicular ao plano. As 3 arestas que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. As 3 faces que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. Logo os vértices adjacentes formam um tetraedro com base regular e sua lateral composta por triêngulos retângulos. Os vértices não adjacentes (com exceção de B) formam um tetraedro com base regular e sua lateral composta por triângulos equiláteros. Considerando a reta AB, esta é altura dos tetraedros. Logo fica fácil calcular a distância de AB e os vértices (2/3 da altura do triângulo da base). Essa distância é sqrt(6)/3 para todo os 6 vétices (não contando com A e B), já que os dois tetraedros tem a mesma base. Ou seja, é formado um hexágono de raio sqrt(6)/3 cuja área mede 6.(sqrt(6)/3)² sqrt(3)/4 = sqrt(3) > sqrt(6) - 1. Pergunta: Qual das duas soluções está errada?
