Se a diagonal for paralela ao plano, a projecao nao tera' area maxima. E nem a projecao de E coincidira' com a projecao de C (usando as letras da solucao da OBM).
A premissa de que EC e' perpendicular a AG esta' errada. []'s Rogerio Ponce 2011/1/26 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com> > Aresta paralela ao plano horizontal? A resolução nunca disse isso, e sim > DIAGONAL paralela ao plano, que é só rotacionar o cubo ao longo de um > vértice que você obtém. > > ------------------------------ > Date: Wed, 26 Jan 2011 15:12:42 -0200 > > Subject: Re: [obm-l] OBM terceira faze nivel 3 - Gabarito duvidoso > From: abrlw...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Melhor dizendo, a solucao da OBM esta' errada porque não existe qualquer > aresta paralela ao plano horizontal. > []'s > Rogerio Ponce. > > > Em 26 de janeiro de 2011 15:11, Rogerio Ponce <abrlw...@gmail.com>escreveu: > > Ola' Joao, > conforme eu ja' havia dito, o hexagono em questao e' REGULAR. > E não tem nenhuma diagonal sqrt(3) paralela ao plano horizontal. > Voce e a OBM estao errando nisso. > Se voce mesmo nao chegar 'a uma solucao "bonitinha", mais tarde eu explico > melhor... > > []'s > Rogerio Ponce > > > 2011/1/26 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com> > > Boa Tarde Rogério, > > Sua resolução está perfeitamente correta para um hexágono REGULAR , como > voce disse . Acontece que para o hexágono ser regular todas as diagonais > sqrt(3) do cubo têm que estar paralelas ao plano, e consequentemente entre > si mesmas. E isso não é possível já que as diagonais maiores do cubo não são > paralelas. Essa solução geraria um hexágono sim, mas não um hexágono > regular. A medida de seus outros "raios" seria menor que sqrt(3)/2, e > consequentemente a área seria menor que 9*sqrt(3)/8. > Sua solução é justamente a do link (veja como o hexágono não é regular), > e a área desse hexágono vale sqrt(6) - 1. > Agora veja o que estou dizendo, não estou falando que sqrt(3) é a MAIOR > área da projeção ortogonal do cubo, pode até ser, mas sim que é uma POSSÍVEL > área. Logo como sqrt(3) < sqrt(6) - 1, a solução da OBM estaria errada. > > Ainda estou tentando achar um erro em minha solução mas ainda não > encontrei. É isso que queria saber, minha solução está errada o a solução > oficial que está errada? > > Grato, > João > ------------------------------ > Date: Wed, 26 Jan 2011 10:56:27 -0200 > > Subject: Re: [obm-l] OBM terceira faze nivel 3 - Gabarito duvidoso > From: abrlw...@gmail.com > > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Ola' Joao, > eu diria que as duas solucoes estao erradas. > A maior projecao gera um hexagono REGULAR. Como a diagonal do cubo mede > sqrt(3), este sera' o diametro do circulo circunscrito ao hexagono. Logo a > area do hexagono deve ser > 6* [sqrt(3)/2 * sin60] * [sqrt(3)/2 * cos60] > Ou seja, > 9*sqrt(3)/8 > > []'s > Rogerio Ponce > > > > 2011/1/26 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com> > > OBM 2010 Terceira Fase > > > PROBLEMA 3 > Qual é a maior sombra que um cubo sólido de aresta 1 pode ter, no sol a > pino? > Observação: Entende-se “maior sombra de uma figura no sol a pino” como a > maior área possível para a > projeção ortogonal da figura sobre um plano. > > O que me perturba é que a resolução desse site dá que a maior sombra tem > área sqrt(6) - 1 > > http://files.supergel57.webnode.com.br/200000496-53215537a7/Resolu%C3%A7%C3%A3o%208.pdf<http://files.supergel57.webnode.com.br/200000496-53215537a7/Resolu%C3%A7%C3%A3o+8.pdf> > > Mas tome o seguinte: > Coloque qualquer vértice do cubo (A) em contato com um plano de modo que o > vértice oposto (B) forme uma reta perpendicular ao plano. > As 3 arestas que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. As 3 > faces que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. > Logo os vértices adjacentes formam um tetraedro com base regular e sua > lateral composta por triêngulos retângulos. > Os vértices não adjacentes (com exceção de B) formam um tetraedro com base > regular e sua lateral composta por triângulos equiláteros. > Considerando a reta AB, esta é altura dos tetraedros. Logo fica fácil > calcular a distância de AB e os vértices (2/3 da altura do triângulo da > base). > Essa distância é sqrt(6)/3 para todo os 6 vétices (não contando com A e B), > já que os dois tetraedros tem a mesma base. > Ou seja, é formado um hexágono de raio sqrt(6)/3 cuja área mede > 6.(sqrt(6)/3)² sqrt(3)/4 = sqrt(3) > sqrt(6) - 1. > > Pergunta: > Qual das duas soluções está errada? > > > > >
