pois é.. definindo e como sendo 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ..., você
prova que o limite dessa soma infinita é igual ao limite de (1+1/n)^n.
Pra isso, você expande o binômio de newton (1+1/n)^n = 1 + n/n +
n(n-1)/2!n^2 + n(n-1)(n-2)/3!n^3 + ... + 1/n^n = 1 + 1 + (1-1/n)/2! +
(1-1/n)(1-2/n)/3! + ... + (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)...(1/n)/n! Pra mostrar
que de fato é igual tem que analisar com cuidado esses dois limites,
mas pra "acreditar" basta ver que cada termo, por exemplo o
(1-1/n)(1-2/n)/3!, converge pra 1/3!
Agora, se a sua definição de "e" é a base do log neperiano, log(e)=1,
ou seja, 1=exp(1), você mostra que e=lim(1+1/n)^n observando que lim
quando x tende a zero de [log(1+x)]/x é 1; (pois esse limite é, por
definição, a derivada de log(t) em t=1). Mas pela regra do peteleco,
[log(1+x)]/x é igual a log[(1+x)^(1/x)]. Então (todos os "lim" que eu
vou escrever são com x->0), como lim log[(1+x)^(1/x)] = 1, aplicando
exp dos dois lados, temos lim exp{log[(1+x)^(1/x)]} = exp(1). Mas exp
do log de (1+x)^(1/x) é igual ao próprio (1+x)^(1/x), ou seja: lim
(1+x)^(1/x) = exp(1), que é igual a "e".
Ambas as demonstrações foram "adaptadas" do livro Análise Real, volume
1 do Elon Lages Lima, do IMPA. É um excelente livro para se estudar
esses conceitos fundamentais da análise.
abraço
2011/2/12 Tiago <[email protected]>:
> Qual é a sua definição de e? Alguns livros mostram que este limite existe e
> depois definem como sendo e. Já o Rudin (Mathematical Analysis), por
> exemplo, define e como uma série e depois provam este limite. Mas pelo que
> eu me lembro não é nada fácil.
>
> 2011/2/12 João Maldonado <[email protected]>
>>
>> Alguém tem uma prova fácil do seguinte limit fundamental?
>>
>> lim (1 + 1/z)^z = e
>> para z-> infnito
>>
>>
>> []s
>>
>> João
>
>
>
> --
> Tiago J. Fonseca
> http://legauss.blogspot.com
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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