Oi Samuel, 2011/4/12 Samuel Wainer <sswai...@hotmail.com>: > Seja xo um ponto de Rn. > Seja U uma viz aberta de xo. > Seja g uma função definida nessa viz. g:U -> R. Suponha g de classe Cr. > Seja agora uma função f:Rn -> R também de classe Cr. Suponha que o suporte > da f esteja contido em U. > Onde o suporte de uma função é o fecho do conjunto de pontos tais que f > diferente de 0. > Assim a função h(x) = f(x)g(x) para xpertencente a U > 0 para x não pertencente ao suporte de f > mostrar que h é bem definida. > Isto é fácil pois o suporte de f está contido em U assim todos os pontos > estão bem definidos. Enfim, sendo um pouco mais "verborrágico":
para x que seja ao mesmo tempo pertencente a U e não pertencente ao suporte de f, tanto faz você usar a definição de h(x) como produto de f por g, como a de zero, porque f(x) = 0. É sempre bom você explicitar o que "poderia" não ter coincidido das definições, quando alguém pede para você verificar que "está bem definido". Eu demorei um pouco para sacar que você tinha dado todos os argumentos necessários, mas tá ok. > Agora pede-se para mostrar que h é de classe Cr. isto é simples? > primeiro pensei em usar a derivada do produto de funções de classes Cr e > concluir. Mas isto não parace correto, pois tenho de analisar os casos em > que x n pertence ao suporte e quando pertence. e mostrar que oslimites são > iguais. > Alguém tem alguma ideia que possa dar uma ajuda? Bom, isso tudo parece muito mais complicado do que devia porque você está brincando com funções C^r. Acho que ficaria muito mais fácil se você "decompusesse" o problema numa indução (ok, tem que escrever direito as hipóteses). Aqui vão umas dicas: Primeira coisa: tente mostrar que a função resultante é contínua, usando apenas e tão somente que f e g são contínuas. Isso deveria dar uma idéia de como você pode continuar. Segundo: mostre que o suporte da derivada de uma função real está contido no suporte da função original. Terceiro: monte a indução e corra pro abraço. > Desde já agradeço. Se alguma coisa não ficou clara, pergunte! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
