Seja a equação linear com coeficientes unitários x1 + x2 +...+ xw = u Escrevemos: 1 + 1 + 1 + ... + 1 = u (u parcelas iguais a 1).
Cada solução inteira e positiva dessa equação corresponde a escolha de w-1 sinais mais dentre o u-1 existentes na igualdade acima. Por exemplo, a solução x1=x2=x3=...=x(w-1)=1 e xw=u-w+1 pode ser vista como: 1 *+* 1 *+* 1 *+* ... *+* 1 +1 +1... + 1 = u (onde escolhemos os primeiros w-1 sinais de mais) Ora, podemos fazer isso de C(u-1,w-1) maneiras distintas. Logo, existem C(u-1,w-1) soluções inteiras e positivas da equação. Para soluções inteiras não negativas, fazemos, para cada i variando de 1 a w yi = xi-1 Agora, a equação fica: y1 - 1 + y2 - 1 +...+ yw - 1 = u Daí, y1 + y2 + ... + yw = u+w Note que cada solução inteira positiva da equação acima corresponde uma solução não negativa da equação original. Mas já sabemos que a equação acima possui C(u+w-1, w-1) soluções inteiras positivas. Assim, a equação original possui C(u+w-1, w-1) soluções inteiras não negativas. Não sei se chega a ser uma demonstração o que escrevi, mas é uma boa maneira de ver essas fórmulas. Abraços. Hugo. Em 12 de setembro de 2011 17:11, João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com > escreveu: > > Olá, > > Queria saber como provar a que a quantidade de soluções inteiras > positivas de um sistema com w variáveis da forma > x1 + x2 +...+ xw = u > é C(u-1, w-1) > > E que a quantidade de soluções inteiras não negativas é > > C(w+u-1, w-1) > > > []'s > João >
