2011/9/25 marcone augusto araújo borges <[email protected]>: > Um grupo de pessoas,composto por 4 homens e 4 mulheres,compra 8 cadeiras > consecutivas na mesma fila de um teatro.Se eles se sentarem > aleatóriamente,nessas cadeiras,a probabilidade de que homens e mulheres se > sentem em cadeiras alternadas é aproximadamente: > > a) 2,86% b) 5,71% c) 1,43% d) 11,42%
Vou começar dizendo como eu tentei resolver o problema. É bem diferente... mas ambas deveriam dar certo, claro. Pense na primeira cadeira (a mais à esquerda, por exemplo). Quem pode sentar nela? Qualquer um! (ou uma!) Porque sentar alternadamente pode começar com H ou M. Muito bem, então isso é uma probabilidade de 1. A segunda cadeira, por sua vez, tem apenas espaço para uma pessoa do sexo oposto. Restam 7 ao todo, e 4 "convém". Isso dá 4/7 de probabilidade. Para a terceira cadeira, tem que ser de novo do sexo oposto, e agora temos 3 e 3, o que dá 1/2. Assim por diante: 4a cadeira = 3/5, 5a cadeira = 1/2, 6a cadeira = 2/3, 7a cadeira = 1/2, 8a cadeira = 1 (só sobrou uma pessoa). Muito bem, isso dá: 1 * 4/7 * 1/2 * 3/5 * 1/2 * 2/3 * 1/2 * 1 = 4*3*2 / 7*2*5*2*3*2 = 1/35 que é um pouco menor do que 1/33... = 0.03, seria portanto 2.86 se a gente não errou as contas. Multiplicando 2.86 por 35 dá 100.10, ok, pode ser uma resposta. Vejamos a sua solução: > O primeiro homem pode sentar em 8 lugares. Ok > O segundo pode sentar em 6 lugares. Aqui tem um problema... Se o primeiro homem sentar no canto, realmente há 6 lugares para o seguinte. Mas se ele sentar numa das 6 outras cadeiras, ele bloqueia não apenas a que ele sentou, mas duas outras, e sobram apenas 5 para o segundo. Até aqui dá pra levar as contas... Se o primeiro sentou no canto (2 casos) há 6 para o segundo (total = 12) ; se o primeiro sentou no meio (6 casos) há 5 para o segundo (total = 30) e assim há 42 possibilidades para os dois primeiros homens. O que é ligeiramente menor do que 8*6 = 48. > O terceiro,em 4 lugares e o quarto,em 2 lugares. O problema é fazer essa contas aqui... Porque depende de onde os dois primeiros sentaram, tem um monte de casos, etc. Com certeza, dá pra fazer, mas vai levar um bom tempo considerando tudo... > Como sobram 4 lugares,é só permutar as 4 mulheres. Exato. Você podia ter feito isso desde o início!! Por exemplo, escolha par ou ímpar para as mulheres. (2 modos). Sente as 4 mulheres nas 4 cadeiras (pares ou ímpares) de acordo com a escolha (4!). Sente os homens nas 4 outras cadeiras (4!). Isso dá: 4! * 4! * 2 / 8! = 4*3*2*2 / 8*7*6*5 = 1 / 7*5. > Então o número de possibilidades de que > homens e mulheres sentem em cadeiras alternadas é 8x6x4x2x4x3x2x1.Dividindo > esse número por 8!(que é o total de possibilidades) temos 5/35 = 0,2285. > O que me intriga é que esse resultado é o dobro dos 11,42% do item d > Alguem poderia esclarecer? Espero que tenha ajudado. Combinatória sempre tem uma boa dose de interpretação, então sempre tome bastante cuidado com os enunciados. Mas também preste bem atenção que tudo continue sempre "equiprovável" (ou então você vai ter que prestar muuuuuuuuuita atenção com as contas). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
