Na verdade a tática consiste em reduzir a casos cada vez menores. Agora que
estou vendo o problema pela segunda vez acho que está errado. Se eu não errei
em nada (ate o ponto de 28^ 111, depois desse ponto eu passei a errar, hehe),
(28^3)^37 teria que dar -1, mas não dá.
28^96 = 1 (mod 97) (tanto pelo teorema do totiente de euler ou pelo pequeno
teorema de fermat, já que 97 é primo, logo28^111 = 28^15 = (28^3)^5 =
(784*28)^5 = (8*28)^5 = (30)^5 = 900*900*30 = 9*9*30*100*100 = 81*30*3*3 =
49*10*9 = 53.10 = 530 = 500+30 = 5*3 + 30 = 45, diferente do esperado
[]'sJoão
Date: Sat, 24 Mar 2012 17:48:09 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
From: vanderma...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Obrigado, mas ainda não vi com fez (5^3)^111 = (28^3)^37 = -1 mod 97
Como fez (28^3)^37? Na calculadora?
é muito grande!
2012/3/24 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
Eu elaborei uma solução que diria "FEIA", na verdade uma bonita seria uma
fatoração que em aparecesse facilmente o 97
Enfim, fatorando o 111
Chamando y de 333^555 + 555^333
y = 111^333(3^333 333^222 + 5^333) = 111^333 ((3^5 111^2)^111 + (5^3)^111)
Mas (3^5 111^2)^111 = (243*14*14)^111 = 1 (mod 97)
5^3 = 28
(5^3)^111 = (28^3)^37 = -1 mod 97
Logo y é divisível por 97
[]'s
João
Date: Sat, 24 Mar 2012 07:45:16 -0300
Subject: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
From: vanderma...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Pessoal, vejam a seguinte questão:
Prove que 333^555 + 555^333 é múltiplo de 97.
Tentei de tudo, mas não consegui.
Um abraço,
Vanderlei
