Para n >= 2, OK.
Seja s(n) = 2 + 1/2 .... + 1/n. Seja k o inteiro positivo tal que 2^k <= n <
2^(k + 1). Então, na decomposiçao dos números 2, 3,....n em fatores primos, o
próprio 2^k é o único que tem o fator 2 com expoente k. Todos os demais têm o 2
com expoente < k (se algum m <> 2^k em {2, 3,....n} tivesse expoente k, então
teríamos m >= 3 . 2^k > n, contradição).
Seja M o mmc dos números 1, 2,....2^k - 1, 2^k + 1,...n. O expoente de 2 na
fatoração de M é então < k. Temos assim que, com exceção de 2^k, todos os
outros números de {1, 2,....n} dividem M. Isto implica que M s(n) seja dado por
uma soma de n - 1 inteiros com M/2^k, que não é inteiro. Logo, M s(n) não é
inteiro, o que implica que s(n) também não seja.
Artur Costa Steiner
Em 14/01/2013, às 18:38, marcone augusto araújo borges
<[email protected]> escreveu:
> Como provar que 1 + 1/2 +1/3 + ...1/n não é inteiro?
> Gostaria de uma abordagem usando teoria dos números
> Obrigado.
