Seja p o período fundamental de f (como f é periódica e contínua este p > 0 
existe). Então, sendo contínua no compacto [0, 2p], f é uniformemente contínua 
no mesmo. Para todo eps > 0, existe então 0 < d < p tal que |f(y) - f(x)| < eps 
para todos x e y de [0, 2p]

Sejam u e v reais quaisquer satisfazendo a |u - v| = r < d. Existem, então, um 
inteiro m e um real x em [0, p] tais que u = mp + x. Como p é período de f, 
segue-se que f(u) = f(x). Sendo v = u + r, temos que f(v) = f(mp + x + r) = f(x 
+ r). Além disto, como r < d < p e x está em [0, p], temos que x + r está em 
[0, 2p]. E, ainda, considerando que r < d e que x e x + r estão em [0, 2p], 
temos que |f(v) - f(u)| = |f(x + r) - f(x)| < eps.

Como eps é arbitrário, concluímos que f é uniformemente contínua em todo o R.

Com relação ao segundo ponto, eu há pouco tempo tive a oportunidade de discutir 
uma pergunta semelhante no Yahoo Respostas. O nível lá não é igual ao daqui 
não, mas também tem perguntas interessantes. No caso, a resposta está em 
Inglês, porque a pergunta foi feita na seção americana. O link é 

http://answers.yahoo.com/question/index;_ylt=ArGgI5KmvwfN1NgNFs2qoFPty6IX;_ylv=3?qid=20130107164843AAfIWMj

Abraços

Artur Costa Steiner

Em 16/01/2013, às 14:16, Jeferson Almir <jefersonram...@gmail.com> escreveu:

>     Caros eu posso afirmar que se uma Função é continua e periódica entao ela 
> é uniformemente continua???, pois eu me deparei com aquela "clássica" funçao 
> trigonométrica da olimpiada do canada sobre sua periodicidade que aparece no 
> livro de analise do Elon para provar que a funcao f(x)=sen(xˆ2) não é 
> Uniformemente continua e eu nao tenho ideia de como proceder pois sei provar 
> que ela não é periodica e nao sei se isso é necessario para garantir sua nao 
> uniformidade. Desde ja agradeço.

Responder a