OK, de nada. A respeito da função g(x) = sen(x^2), é um caso particular do que foi abordado no link do meu outro email. Vou repetir aqui.
Seja f de R em R uma função periódica e não constante que tenha um período fundamental p > 0. Para todo a > 0, a <> 1,a função g(x) = f(x^a) não é uniformemente contínua. Prova: Sabemos que uma função g é uniformemente contínua em seu domínio se, e somente se, para todas sequências (u_n) e (v_n) no domínio de g tais que u_n - v_n --> 0, tivermos que g(u_n) - g(v_n) --> 0. Consideremos inicialmente o caso a > 1. Sendo p > 0 o período fundamental de f, definamos (u_n) e (v_n) por u_n = (np + u)^(1/a) e v_n = (np + v)^(1/a), onde u e v são reais tais que f(u) <> f(v) (como f não é constante, este números existem). Como a > 1, 0 < 1/a < 1, o que implica que u_n - v_n --> 0 (isto pode ser deduzido da definição da função potência). Entretanto, para todo n, g(u_n) - g(v_n) = f((u_n)^a) - f((v_n)^a) = f(np + u) - f(np + v) = f(u) - f(v), pois p é período de f. Logo, g(u_n) - g(v_n) converge trivialmente para f(u) - f(v) <> 0. Isto nos mostra que g não é uniformemente contínua em R. Consideremos agora o caso a em (0, 1) e suponhamos que g seja uniformemente contínua. Como 1/a > 1, temos do caso anterior que h(x) = g(x^(1/a)) = f(x), contrariamente à hipótese, não é uniformemente contínua. Logo, g não é uniformemente contínua. Com base nesta conclusão mais forte, fica fácil provar que, se f é contínua, periódica e não constante, então, para todo a > 0, diferente de 1, g(x) = f(x^a) não é periódica. De fato, observamos que, sendo g a composição da contínua f com a contínua x --> x^a, g é contínua. E como f é contínua e periódica, f tem um período fundamental p > 0. Assim, em virtude do que vimos, g é contínua mas não uniformemente contínua. Conforme também já vimos, isto implica que g não pode ser periódica. Só uma observação. Se a não for inteiro, o domínio de g é [0, oo). Abraços Artur Costa Steiner Em 16/01/2013, às 16:12, Jeferson Almir <[email protected]> escreveu: > Obrigado Artur esse ultimo email tirou todas minhas duvidas. > > Em 16 de janeiro de 2013 14:55, Artur Costa Steiner <[email protected]> > escreveu: >> A respeito da função g(x) = sen(x^2), o link que eu postei no outro email >> aborda o caso geral, no qual f é uma função periódica contínua e não >> constante e g(x) = f(x^a), onde a > 0 é uma constante. >> >> Veja que, se demonstrarmos que g não é uniformemente contínua, fica >> automaticamente demonstrado que não é periódica. Mas a recíproca não vigora. >> Demonstrar que g não é periódica não implica que não seja uniformemente >> contínua. >> >> Artur Costa Steiner >> >> Em 16/01/2013, às 14:16, Jeferson Almir <[email protected]> escreveu: >> >> > Caros eu posso afirmar que se uma Função é continua e periódica entao >> > ela é uniformemente continua???, pois eu me deparei com aquela "clássica" >> > funçao trigonométrica da olimpiada do canada sobre sua periodicidade que >> > aparece no livro de analise do Elon para provar que a funcao f(x)=sen(xˆ2) >> > não é Uniformemente continua e eu nao tenho ideia de como proceder pois >> > sei provar que ela não é periodica e nao sei se isso é necessario para >> > garantir sua nao uniformidade. Desde ja agradeço. >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >
