Obrigado Pedro. Eu me perdi naquela parte da sequência ser densa. Mas, com base, na sua idéia, acho que podemos também seguir o seguinte raciocínio.
No caso de r ser múltiplo racional de p. Conforme mostrado, para todo x, g(x + T) = g(x). Isto implica que T = mp seja período de g. Logo, mp é múltiplo inteiro de seu período fundamental q. Assim, mp = kq para algum inteiro positivo k, do que deduzimos que p/q = k/m é racional. Logo, temos uma contradição. No caso de r/p e r/q serem irracionais. Aqui eu me perdi, vou analisar mais. Abraços Artur Costa Steiner Em 18/01/2013, às 19:26, Pedro Angelo <[email protected]> escreveu: > Vamos lá.. > > Imagine que f é periódica de perÃodo fundamental p, e g é periódica de > perÃodo fundamental q, com p/q irracional, e suponha por absurdo que > h=f+g é periódica de perÃodo r. Então r não pode ser ao mesmo tempo > múltiplo racional de p e de q. Suponhamos que r não é multiplo inteiro > de q, ou seja, r/q é irracional. > > Digamos que r é múltiplo racional de p, ou seja, existem números > inteiros n e m não nulos com nr=mp=T. Então f(x+T)=f(x) e h(x+T)=h(x) > para todo x. Portanto a diferença h-f=g entre eles também satisfaz a > mesma equação: g(x+T)=g(x) para todo x. Além disso, podemos aumentar > quantos perÃodos T quisermos: g(x+kT)=g(x) para todo k inteiro e todo > x real. É fácil ver onde isso vai chegar: g(x) é constante num > conjunto denso, e por ser contÃnua, é constante, o que é absurdo pela > suposição que você fez. > > Digamos então que ambos r/p e r/q são irracionais. Nesse caso, temos > h(x+kr)=h(x) para todo x. Portanto, f(x)+g(x) = f(x+r) + g(x+r) = > f(x+2r) + g(x+2r) = etc = h(x). Podemos fixar um x r substituir a > sequência x+kr por uma sequência a_k contida num perÃodo de f, de > maneira que f(x+kr)=f(a_k), e fazer o mesmo para g, obtendo > g(x+kr)=g(b_k). Dados quaisquer dois elementos a e b, a dentro do > perÃodo de f onde a_k é denso, e b dentro do perÃodo de g onde b_k é > denso, podemos construir duas subequencias. Uma delas, a'_k, é > subsequência de a_k convergindo para a, e a outra é uma subsequência > b'_k de b_k usando somente os Ãndices usados em a'_k. (temos que > corrigir a'_k para usar somente os Ãndices usados na construção de > b'_k). Agora, olhamos para o limite quando k vai para infinito de > f(a'_k)+g(b'_k). Por um lado, essa expressão é igual a h(x) para todo > k. Por outro, f(a'_k) tende para f(a) e g(b'_k) tende para g(b) (já > que f e g são contÃnuas). Portanto, para quaisquer a e b, > f(a)+g(b)=h(x), ou seja, ambas f e g são constantes! Absurdo! > > Foi difÃcil mas saiu : ) tá um bocado confuso, mas espero que dê pra > entender. Se alguém tiver uma solução mais simples, eu adoraria ver. > > 2013/1/18 Artur Costa Steiner <[email protected]>: >> Eu estou querendo provar isto, mas ainda não cheguei lá não. >> >> Sejam f e g funções de R em R contÃnuas, periódicas e não constantes. >> Então, f + g é periódica se, e somente se, a relação entre os perÃodos >> mÃnimos de f e de g for racional. >> >> A parte se é fácil de mostrar. Para a recÃproca, observei que, sendo p e >> q os perÃodos mÃnimos de f e de g, então conjunto A = {mp - qn, me e n >> inteiros positivos} , é denso em R. Para todo x, há uma sequênvia em A >> que converge para x, e isso acaba nos mostrando que >> >> lim k --> oo, k inteiro, f(-n_k q) + g(m_k p) = f(x) + g(x) >> >> Mas disto não se conclui que f + g não é periódica. >> >> Abraços >> >> Artur Costa Steiner >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
