Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que há vários detalhes), aí vão soluções:
1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 >= 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 >= 4xyz = 4*32 = 128. A igualdade ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y = 2^(5/6) e z = 2^(7/3). 2) A minha solução é parecida, só o final muda um pouco. Sendo P = xy, a expressão é igual a P^2((x+y)^2 - 2xy) = 4P^2 - 2P^3. Queremos provar que 4P^2 - 2P^3 <= 2, ou seja, 2P^2 <= P^3 + 1. Mas por médias novamente 2 = x+y >= 2P^(1/2), ou seja, 1 >= P^(1/2), e, pela desigualdade das médias, P^3 + 1 >= 2P^(3/2) = 2P^(3/2)1^(1/2) >= 2P^(3/2)P^(1/2) = 2P^2, como queremos. []'s Shine ________________________________ From: João Maldonado <[email protected]> To: "[email protected]" <[email protected]> Sent: Tuesday, March 19, 2013 1:57 PM Subject: RE: [obm-l] Desigualdades Eu faria por derivada (especialmente o segundo) 1) z = 32/xy Substituindo p = (x+2y)² + 2.(32/xy)² Derivando em relação a x e igualando a 0 dp/dx = 0 -> (xy)².x.(x+2y) = 2.32² Derivando em relação a y e igualando a 0 dp/dy = 0 ->(xy)².y.(x+2y) = 32² Dividindo um pelo outro x/y= 2 -> x=2y Substituindo -> y=2, x=4 e desse modo z = 4 p mín = 96 2) (xy)² (4-2xy) = 2(-(xy)³ + 2(xy)²) A função -(xy)³ + 2(xy)² tem raiz dupla xy=0 e raiz xy=2, logo entre 0 e 2 temos um máximo momentâneo. Mas sabemos que 0 < xy <= 1 Além disso, derivando e igualando a zero, vemos que o máximo momentâneo se dá em xy=4/3, logo de 0 a 4/3 a função é estritamente crescente. Desse modo o fmáx se dá em xy=1 Assim: x^2.y^2(x^2 + y^2) < = 2 []'s João ________________________________ From: [email protected] To: [email protected] Subject: [obm-l] Desigualdades Date: Tue, 19 Mar 2013 12:20:08 +0000 1) Sejam x,y,z números reais positivos tais que xyz = 32.Determine o valor mínimo de x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2 2) Sejam x > = 0,y > = 0 números reais tais que x + y = 2.Mostre que x^2.y^2(x^2 + y^2) < = 2 ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
