2013/3/19 Carlos Yuzo Shine <cysh...@yahoo.com>: > Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que há > vários detalhes), aí vão soluções: > > 1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 + 4y^2) + > 2z^2 >= 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 >= 4xyz = 4*32 = 128. A igualdade > ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y = 2^(5/6) e z = > 2^(7/3).
Oi Shine, eu não entendi a passagem 8xy + 2z^2 >= 4xyz. Não pode ser só desigualdade das médias, porque essa é homogênea, e todos os termos da esquerda são de ordem dois. Acho que faltou uma dica para o seu caro leitor. Pensando um pouco mais, eu resolveria com multiplicadores de Lagrange (e portanto com derivadas). Mas se fosse antes de aprender Lagrange, eu teria feito assim: Note que se z é fixo, temos que minimizar (x + 2y)^2, com xy = constante. (Aplicando a famosa técnica "escolha produtos notáveis que vão te ajudar".) Pela MA >= MG, obtemos x = 2y (como todo mundo obteve...). xy = 32/z, x = 2y => 2y^2 = 32/z => y^2 = 16/z, x^2 = 4*16/z e portanto x^2 + 4xy + 4y^2 = 4*16/z + 4*32/z + 4*16/z = 4*32*2/z. Queremos minimizar 4*32*2/z + 2z^2. Pela desigualdade das médias com 3 termos: 4*32/z + 4*32/z + 2z^2 >= 3 * (4*32 * 4*32 * 2)^1/3 = 3 * (2^(2+5+2+5+1))^1/3 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. A igualdade ocorre para 4*32/z = 2z^2 <=> 64 = z^3, ou seja z = 4, y = 4/raiz(z) = 4/2 = 2, x = 4. Verificando: x^2 = 4^2 = 16 4xy = 4*2*4 = 32 4*y^2 = 4*2^2 = 16 2z^2 = 2*4^2 = 32 Somando = 96. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
