Eu consegui fazer para o caso geral (M e Q pode estar em qualquer região do
círculo, não apenas em regiões opostas determinadas por um diâmetro)
E a resolução ficou bem "feia"" também (tive que usar cálculo)
*Sendo P1 um ponto a uma distância x fixa do centro do círculo, qual a
probabilidade de escolhermos outro ponto no círculo tal que a distância entre
P1 e P2 seja menor que um?
Podemos tracejar um círculo de raio 1 em torno de P1. A intersecção desse
círculo com o círculo original é a região dos pontos cuja a distância a P1 é <
1.
A área dessa região sobre a área do círculo simboliza a probabilidade de
escolhermos outro ponto P2 no círculo tal que a distância entre P1 e P2 seja
menor que um.
A área pode ser facilmente calculada por matemática básica
A/Atotal = 1/Pi (2 ArcCos[x/2] - x sqrt (1- (x/2)²))
O "peso" dessa probabilidade é proporcional à área que ela ocupa (temos muito
mais pontos a uma distância 1 do que a uma distância 1/2 por exemplo)
O peso vale 2 Pi x dx/Pi = 2 x dx
Integrando de 0 a 1
P = Integral[ 2 x dx/Pi (2 ArcCos[x/2] - x sqrt (1- (x/2)²))] de 0 a 1
P = 58.6%
[]'s
João
From: bened...@ufrnet.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Problema
Date: Fri, 22 Mar 2013 05:16:50 -0300
ProblemaDois pontos, M e Q, são escolhidos aleatoriamente num disco unitário,
mas em regiões opostas, determinadas por um diâmetro AB. Qual é a probabilidade
de que a distância entre M e Q seja menor do que 1?
