Formalize usando indução finita.
i) Dados 3 pontos no plano, não colineares, é bem claro que são 3 retas
distintas.
ii) Suponha que a afirmação é verdadeira para N=k (isto é, k pontos no
plano não-colineares determinam pelo menos k retas distintas).
Tome k+1 pontos não-colineares. Escolha um deles, digamos P, e olhe para os
k restantes.
-- Se os k restantes forem colineares, não dá para usar a hipótese de
indução, mas não precisa -- o argumento do Guilherme mostra que temos k+1
retas distintas por estes pontos.
-- Senão, são k pontos não colineares; por hipótese de indução, eles
determinam pelo menos k retas distintas!
---- Se ALGUMA das k retas não passar por P, pegue um ponto desta reta,
ligue-o a P e monte assim a k+1-ésima reta.
---- Se as k retas passarem por P, putz grila, você é muito azarado! Mas
tudo bem -- pegue duas dessas retas (ok pois k>=2), pegue um ponto (dos k
"antigos") em cada uma e voilá!, temos uma nova reta ("nova" pois ela não
passa por P).
Obs.: "Determinam" aí em cima significa "tem pelo menos dois pontos desses
na reta".
Abraço,
Ralph
2013/6/2 Guilherme Sales <gdc...@gmail.com>
> Uma ideia:
>
> na pior das hipóteses, N-1 pontos estão na mesma reta (N-1 >= 2) e o
> N-ésimo está fora (pela hipótese de que não são todos colineares).
>
> Você tem então: a reta com os N-1 pontos e N-1 retas distintas que cada um
> desses determina com o que ficou de fora; então há pelo menos N retas
> distintas passando por pelo menos dois pontos.
>
> Acho que formalizar os detalhes não deve ser difícil.
>
> Guilherme
>
>
> Em 2 de junho de 2013 22:05, Cláudio Thor <claudiot...@hotmail.com>escreveu:
>
> Alguém poderia me ajudar neste problema.
>>
>> Dados N pontos no plano, com N maior ou igual a 3, com a restrição de que
>> nem todos estão na mesma linha, demonstre que o conjunto das linhas que
>> passam por pelo menos dois pontos tem tamanho maior ou igual a N.
>>
>> Agradeço de já.
>>
>> Claudio
>>
>
>
