Lema 1) x + y + z >= raiz (3 . (xy + yz + zx)) para quaisquer x, y e z positivos.
Prova: Sabemos que: (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 >= 0 [*a igualdade ocorre se somente se x=y=z*]. Desenvolvendo, teremos: 2.(x^2 + y^2 + z^2) - 2xy - 2yz - 2zx >= 0 <-> x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx>= 3xy + 3yz + 3zx <-> (x + y + z)^2 >= 3xy + 3yz + 3zx <-> x + y + z >= raiz (3 . (xy + yz + zx)). Já que xy + yz + zx >= 1, teremos, necessariamente: x + y + z >= raiz(3) [a igualdade ocorrendo quando z=y=z=raiz(3)/3]. Lema 2) raiz ((xy + yz + zx)/3) >= raiz(3) (xyz) para quaisquer x, y e z positivos [raiz(3) quer dizer raiz cúbica]. Prova: Da desigualdade das médias, temos: (xy + yz + zx)/3 >= raiz(3) (x^2y^2z^2) [ *a igualdade ocorre se somente se x=y=z*] <-> raiz((xy + yz + zx)/3) >= raiz(raiz(3) (x^2y^2z^2)) = raiz(3) (xyz). Já que xy + yz + zx <= 1, teremos, necessariamente: raiz(3) (xyz) <= 1 <-> xyz <= 1 [a igualdade ocorrendo quando z=y=z=1]. Então, nossa resposta é: x + y + z >= raiz (3) e xyz <= 1! Em 16 de julho de 2013 00:01, João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>escreveu: > (x-y)² + (y-z)² +(z-x)² = 2(x²+y²+z²-xy-yz-zx) >= 0 > (x²+y²+z²-xy-yz-zx) >=0 > (x+y+z)² >=3(xy+yz+zx)>=3 > (x+y+z)>=3^(1/2) > O valor máximo diverge, já que podemos ter x infinitamente grande > satisfazendo o sistema, ex: > x = 10^k, y=10^-k e z = 10^-k satisfaz para k>0, faça k tender ao infinito > e (x+y+z) tende ao infinito > > Divida por xyz: > 3/xyz >= 1/x + 1/y + 1/z >= 3/(xyz)^(1/3) (desigualdade das médias) > Daonde vem que xyz>=1 > O limite inferior é zero: mais uma vez, com a solução acima mencionada > teríamos xyz = 10^-k, faça k tende ao infinito xyz tende a 0 > > ------------------------------ > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Desigualdade das médias > Date: Tue, 16 Jul 2013 01:18:33 +0000 > > > Sejam x,y,z números positivos tais que 1 < = xy + xz + yz < = 3.Determine > o conjunto dos valores de xyz e de x+y+z.Peço ajuda e ja > agradeço. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
