Eu gostaria de elaborar um pouco mais, a partir do ponto em que o Marcos parou.
Acho que há ainda outras soluções.
O Marcos concluiu, da 1a equação, que
sen(y/2) (cos(x + y/2) - cos(y/2)) = 0
Aplicando uma conhecida identidade trigonométrica na linha da que ele usou,
obtemos
sen(y/2) (-2sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0
sen(y/2) sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0
Assim, sendo k um inteiro, a 1a equação será satisfeita se, e somente se, pelo
menos uma das seguintes condições for satisfeita:
sen(y/2) = 0, equivalente a y/2 = kπ, y= 2kπ
sen(x/2) = 0, x = 2kπ
sen(x + y) = 0, x + y = 2kπ
As duas primeira condições já foram abordadas pelo Marcos
Se vigorar a 3a condição, então y = 2kπ - x e a 2a equação implica que
e^x + e^(2kπ - x) = 1
(e^x)^2 - e^x + e^(2kπ) = 0
Como estamos nos reais, uma condição necessária para haver solução é que esta
equação quadrática em e ^x tenha pelo menos uma raiz real. Logo, uma condição
necessária é que
1 - 4 e^(2kπ) ≥ 0, ou seja, e^(2kπ) ≤ 1/4, k ≤ -ln(4)/(2kπ). Como k é inteiro,
isto implica simplesmente que k ≤ -1. Neste caso, temos que e^x = (1 - sqrt(1 -
4 e^(2kπ)))/2 e e^x = (1 + sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2. Em ambos os casos, o segundo
membro é positivo, de modo que temos x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) ou x =
e^x = (4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) e y = 2kπ - x.
Em suma, o conjunto solução desta equação é a união dos seguintes conjuntos
A = {(x, y) em R^2 | x = ln(1 - e^(2kπ)), k < 0, k inteiro, x ∈ R}
B = {(x, y) em R^2 | x ∈ R, y = ln(1 - e^(2kπ)), k < 0, k inteiro}
C = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k < 0, k
inteiro}
D = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k < 0, k
inteiro}
Dê uma conferida.
Artur Costa Steiner
Em 26/07/2013, às 13:21, Marcos Martinelli <[email protected]> escreveu:
> Da segunda equação, devemos ter: x < 0 e y < 0 (*). Suponhamos, sem perda de
> generalidade, que x >= 0 -> e^x >= 1 -> e^y = (1 - e^x) <= 0. Absurdo, pois
> e^y > 0 para qualquer y real.
>
> I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) -> sen (x + y) - sen(x) = sen(y) -> 2 .
> sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas
> hipóteses:
>
> I.i) sen (y/2) = 0 -> y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os
> valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação
> (*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 -> x = ln(1 -
> e^(- 2k . pi)).
>
> I.ii) sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi (com k
> natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y = ln(1
> - e^(- 2k . pi)).
>
> Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 - e^(-
> 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.]
>
>
> Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M <[email protected]> escreveu:
>> Bom dia a todos
>>
>> Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida.
>>
>> Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema:
>>
>> sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
>> e^x + e^y = 1
>>
>> Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente
>> complicada.
>>
>> Obrigada.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
