sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
e^x + e^y = 1
senxcosy+cosxseny=senx+seny
senx(1-cosy)=seny(cosx-1)
tgx/2=tgy/2
tgx/2=-tgy/2
x/2=y/2+npi
x=y+2npi
e^y=1/(e^2npi+1)
y=-ln(e^2npi+1)
2013/7/26 Marcos Martinelli <mffmartine...@gmail.com>
> Verdade! Comi uma mosca nessa parte:
>
> "sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi"
>
> Na verdade, temos:
>
> "sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi ou x + y = -
> 2k . pi"
>
> Obrigado, Nehab! Bom problema!
>
>
> Em 26 de julho de 2013 15:29, Artur Costa Steiner
> <steinerar...@gmail.com>escreveu:
>
> Eu gostaria de elaborar um pouco mais, a partir do ponto em que o Marcos
>> parou. Acho que há ainda outras soluções.
>>
>> O Marcos concluiu, da 1a equação, que
>>
>> sen(y/2) (cos(x + y/2) - cos(y/2)) = 0
>>
>> Aplicando uma conhecida identidade trigonométrica na linha da que ele
>> usou, obtemos
>>
>> sen(y/2) (-2sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0
>>
>> sen(y/2) sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0
>>
>> Assim, sendo k um inteiro, a 1a equação será satisfeita se, e somente se,
>> pelo menos uma das seguintes condições for satisfeita:
>>
>> sen(y/2) = 0, equivalente a y/2 = kπ, y= 2kπ
>> sen(x/2) = 0, x = 2kπ
>> sen(x + y) = 0, x + y = 2kπ
>>
>> As duas primeira condições já foram abordadas pelo Marcos
>>
>> Se vigorar a 3a condição, então y = 2kπ - x e a 2a equação implica que
>>
>> e^x + e^(2kπ - x) = 1
>>
>> (e^x)^2 - e^x + e^(2kπ) = 0
>>
>> Como estamos nos reais, uma condição necessária para haver solução é que
>> esta equação quadrática em e ^x tenha pelo menos uma raiz real. Logo, uma
>> condição necessária é que
>>
>> 1 - 4 e^(2kπ) ≥ 0, ou seja, e^(2kπ) ≤ 1/4, k ≤ -ln(4)/(2kπ). Como k é
>> inteiro, isto implica simplesmente que k ≤ -1. Neste caso, temos que e^x =
>> (1 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2 e e^x = (1 + sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2. Em ambos
>> os casos, o segundo membro é positivo, de modo que temos x = ln((4 - sqrt(1
>> - 4 e^(2kπ)))/2) ou x = e^x = (4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) e y = 2kπ - x.
>>
>> Em suma, o conjunto solução desta equação é a união dos seguintes
>> conjuntos
>>
>> A = {(x, y) em R^2 | x = ln(1 - e^(2kπ)), k < 0, k inteiro, x ∈ R}
>>
>> B = {(x, y) em R^2 | x ∈ R, y = ln(1 - e^(2kπ)), k < 0, k inteiro}
>>
>> C = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k
>> < 0, k inteiro}
>>
>> D = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k
>> < 0, k inteiro}
>>
>> Dê uma conferida.
>>
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> Em 26/07/2013, às 13:21, Marcos Martinelli <mffmartine...@gmail.com>
>> escreveu:
>>
>> Da segunda equação, devemos ter: x < 0 e y < 0 (*). Suponhamos, sem perda
>> de generalidade, que x >= 0 -> e^x >= 1 -> e^y = (1 - e^x) <= 0. Absurdo,
>> pois e^y > 0 para qualquer y real.
>>
>> I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) -> sen (x + y) - sen(x) = sen(y) -> 2 .
>> sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas
>> hipóteses:
>>
>> I.i) sen (y/2) = 0 -> y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os
>> valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação
>> (*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 -> x = ln(1
>> - e^(- 2k . pi)).
>>
>> I.ii) sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi (com k
>> natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y =
>> ln(1 - e^(- 2k . pi)).
>>
>> Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 -
>> e^(- 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.]
>>
>>
>> Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M <sc...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Bom dia a todos
>>>
>>> Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida.
>>>
>>> Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema:
>>>
>>> sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
>>> e^x + e^y = 1
>>>
>>> Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente
>>> complicada.
>>>
>>> Obrigada.
>>>
>>> --
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
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