Grande solução , Bernardo. Eu ia tentar por resíduos, mas esta foi melhor!
Artur Em domingo, 28 de julho de 2013, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: > 2013/7/28 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com <javascript:;>>: > > Numa primeira análise, podemos afirmar que esta integral existe. Para x > > 1, |(e^(-x) - e^(-ex))/x| < 1. Como a integral de 1 a oo de e^(-x) - > e^(-ex) claramente existe e é finita, a sua integral existe e é finita em > [1, oo). Na realidade, é positiva, pois o integrando é positivo. > > > > Assim, se a integral imprópria sobre (0, 1] for finita, a integral sobre > (0, oo) existirá. Temos que o integrando é uma função contínua em (0, 1] e > que lim x --> 0+ (e^(-x) - e^-ex)/x = e - 1. Logo, a função é limitada em > (0, 1]. Se vc extender o domínio para [0, oo) definindo g(0) = e - 1, vc > obtém uma função contínua, logo integrável, em [0, 1]. E esta integral é > igual à integral imprópria da função original sobre (0, 1]. > > > > Assim, sua integral existe e é finita sobre (0, oo). Mas determiná-la, > não parece uma tarefa fácil. Achar a primitiva em forma fechada, acho que > não dá. > > Queremos integrar [ exp(-x) - exp(-ex) ]/x de 0 a infinito, e o Artur > já fez o favor de mostrar que a integral existe. Agora é só calcular. > Vamos por integrais impróprias, mesmo que eu ache que deve ter uma > solução usando resíduos: > > I = limite eps->0 int_eps^infinito [ exp(-x) - exp(-ex) ]/x dx. Chame > essa integral de I_eps. > > I_eps = int_eps^infinito exp(-x)/x dx - int_eps^infinito exp(-ex)/x dx > = I_eps_1 - I_eps_2. > > Agora, faça uma mudança de variáveis y = ex na segunda integral, ela vira > > I_eps_2 = int_eps^infinito exp(-ex)/x dx = int_(e * eps)^infinito > exp(-y) dy (Note que dx/x = dy/y para y = k*x, qualquer que seja k). > > Assim, I_eps = integral de eps até (e * eps) exp(-x) dx/x = integral > de 1 até e de exp(-u*eps) du/u (para x = u*eps, mesma observação > anterior) > > Mas quando eps->0, o integrando tende (uniformemente ! em [1,e]) à > função 1/u. E essa integral é o logaritmo de e, ou seja, 1. > > Abraços, > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
