Beleza. Vou supor que D e E pertencem ao interior do segmento BC.
Como 2 BD = 2 DE = EC (e lembrando que as áreas dos triângulos formados quando traçamos AD e AE são proporcionais às razões de suas bases (já que têm a mesma altura)), podemos escrever: i) S_ABD = S_ADE (S_XYZ é a área do triângulo de vértices X, Y e Z). Assim, teremos, necessariamente: AB = AE = l (isso vale porque o enunciado afirma que os raios dos círculos inscritos a todos os triângulos é o mesmo e S = p . r, onde p é o semi-perímetro de um triângulo). ii) S_AEC = 2 . S_AED. Vamos chamar AC de b e AD de m (também estou considerando BD = DE = 2x e EC = x). Usando pensamento semelhante a i), podemos escrever o seguinte sobre os semi-perímetros: b + l + 2x = 2 (x + l + m) -> m = (b - l)/2. Vamos usar Stewart agora: I) No triângulo ABE, sendo AD a ceviana: l^2 / (2x . x) - (b - l)^2 / (4.x.x) + l^2 / (2x . x) -> 4l^2 - (b - l)^2 = 4x^2 (I) II) No triângulo ADC, sendo AE a ceviana: (b - l)^2 / (4 . 3x . x) - l^2 / (x . 2x) + b^2 / (3x . 2x) -> (b - l)^2 - 6l^2 + 2b^2 = 12x^2 (II) Podemos fazer, agora, (II) - 3. (I): - 12l^2 + 3(b - l)^2 + (b - l)^2 - 6l^2 + 2b^2 = 0 -> 4(b - l)^2 - 8bl - 14l^2 = 0 -> 3b^2 - 4bl - 7l^2 = 0. As duas soluções para esta equação são b = 7l / 3 ou b = - l. Geometricamente falando, apenas a primeira tem sentido. Podemos obter x como função de l também. Basta substituir em (I): 4x^2 = 4l^2 - (7l / 3 - l)^2 = 20l^2 / 9 -> x = l sqrt(5) / 3. Aplicando lei dos co-senos no triângulo AEC, teremos (alpha é o ângulo cujo seno queremos calcular): l^2 = b^2 + 4x^2 - 4bx . cos(alpha) -> l^2 = 49l^2 / 9 + 20l^2 / 9 - 4 . 7 . sqrt(5) l^2 . cos(alpha) / 9 -> 9 = 69 - 28 . sqrt(5) . cos(alpha) -> cos(alpha) = 3 . sqrt(5) / 7. Assim, alpha pertence ao primeiro quadrante (é menor que 90 graus) e seu seno vale sqrt(1 - 45 / 49) = 2/7. Em 30 de julho de 2013 21:51, Bruno Rodrigues <brunorodrigues....@gmail.com>escreveu: > Perfeito Marcos.Também suspeitava de algum erro no enunciado,e descobri > qual é agorinha tendo acesso a questao original. > A diferença é que a igualdade é definida como 2BD=2DE*=EC* > Consegue fazer a construção agora? =D > > > > Em 27 de julho de 2013 11:54, Marcos Martinelli > <mffmartine...@gmail.com>escreveu: > >> Acho que dá pra provar que não existem pontos D e E pertencentes à BC e >> que satisfaçam as outras condições do enunciado. >> >> i) supondo que D e E pertencem ao interior do segmento de reta BC. >> >> Já que BD = DE = EC e a altura desde o vértice A até estas bases é a >> mesma, as áreas dos triângulos ABD, ADE e AEC são iguais. Sabemos que a >> área de um triângulo qualquer é igual a seu semi-perímetro multiplicado >> pelo raio do círculo inscrito. Pelo enunciado, os raios de todos os >> círculos inscritos são iguais. Logo o semi-perímetro destes três triângulos >> são também iguais. >> >> Assim, devemos ter: AB = AE e AD = AC. Seja alpha o ângulo ABD e beta o >> ângulo ACE. >> >> Como os triângulos ABE e ACD são isósceles, temos: AED = alpha e ADE = >> beta. Portanto: DAE = 180 - (alpha + beta). >> >> Mas, agora, vamos olhar pra soma dos ângulos internos de ABC: ABC + ACB + >> BAD + DAE + EAC = alpha + beta + (180 - alpha - beta) + BAD + EAC = 180 + >> BAD + EAC > 180, já que, por construção, BAD e EAC são positivos. >> >> Isso nos mostra que, pelo menos um dos pontos (D ou E) deve estar fora do >> interior do segmento BC. >> >> ii) supondo que D esteja à esquerda de B. Como BD = DE e já que E não >> pode coincidir com B, devemos ter E à esquerda de D. Mas, claramente, >> teríamos EC > 2 . BD. Absurdo pois EC = BD. >> >> iii) supondo que D esteja à direita de C. Como BD = DE e já que E não >> pode coincidir com B, devemos ter E à direita de D. Mas, claramente, >> teríamos EC > DE. Absurdo pois EC = DE. >> >> Por isso que eu acredito ter algo errado no enunciado. >> >> >> Em 26 de julho de 2013 20:19, Bruno Rodrigues < >> brunorodrigues....@gmail.com> escreveu: >> >> Pelo que eu entendi da questão,sim. >>> >>> Saudações >>> >>> >>> Em 26 de julho de 2013 17:00, Marcos Martinelli <mffmartine...@gmail.com >>> > escreveu: >>> >>> Então o problema está dizendo que os segmentos de reta BD, DE e EC são >>>> iguais mesmo? >>>> >>>> Brigado. >>>> >>>> >>>> Em 26 de julho de 2013 15:47, Bruno Rodrigues < >>>> brunorodrigues....@gmail.com> escreveu: >>>> >>>> pois é,está exatamente assim.Também achei meio estranho,mas a condição >>>>> segundo a questão é válida. >>>>> >>>>> >>>>> Em 26 de julho de 2013 14:12, Marcos Martinelli < >>>>> mffmartine...@gmail.com> escreveu: >>>>> >>>>> Tem certeza dessa condição: 2BD=2DE=2EC? >>>>>> >>>>>> Achei meio estranho colocar o fator dois em todos os membros. >>>>>> >>>>>> >>>>>> Em 24 de julho de 2013 21:25, Bruno Rodrigues < >>>>>> brunorodrigues....@gmail.com> escreveu: >>>>>> >>>>>>> Oi pessoal,será que alguém consegue me dar uma luz nessa questão de >>>>>>> geometria? >>>>>>> >>>>>>> Seja ABC um triângulo.Sejam D e E pontos no lado BC tal que >>>>>>> 2BD=2DE=2EC (onde BD,DE e EC são retas).Sabendo que os círculos >>>>>>> inscritos >>>>>>> nos triângulos ABD,ADE e AEC tem o mesmo raio,calcule o seno do ângulo >>>>>>> ACB. >>>>>>> >>>>>>> Saudações >>>>>>> Bruno >>>>>>> >>>>>>> -- >>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
