O caso geral é meio complicado. Mas vou dar uma ideia de como se prova que √ 2 + 3√3 é irracional.
Primeiro introduzimos o conjunto Q[√2], que é o menor corpo que contem tanto Q quanto √2. Ele é formado pelos caras da forma a + b√2, onde a,b ∈ Q. Suponha que √2 + 3√3 ∈ Q[√2]. Então existem a,b tal que √2 + 3√3 = a + b√ 2. Mas então temos que 3√3 ∈ Q[√2] também. Daí temos a,b ∈ Q com 3 = (a + b√ 2)3⇒ 3 = a3. Prossiga de maneira similar a prova tradicional de que 3√3 é irracional. Mas nesse caso vc prova √2 +3√3 não pertence a Q[√2]. Mas como Q ⊂ Q[√2], temos a resposta. Bem, alguns passos são não triviais, mas essa é a ideia. 2013/9/7 terence thirteen <peterdirich...@gmail.com> > Complicadinho... > > Primeiro, dá para supor que a1/m e b1/n estão reduzidos. > > Acho que a forma seria obter um polinômio que tenha esta soma como raiz, e > provar que nenhum racional pode ser raiz deste polinômio. > > Por exemplo, > > 21/2+31/3=x > 81/6+91/6=x > > Assim, podemos de alguma forma supor que x é raiz de um polinômio de grau > 6(acho que alguma coisa relacionada a Álgebra Linear pode provar isto). > > De qualquer forma, calculamos xn, com n de 1 até 6, e tentamos obter > alguma combinação linear entre as alternativas, para daí obter o polinômio > de grau 6. MAS como demonstrar que nenhum racional pode ser raiz deste > polinômio? > > > > > > > Em 26 de agosto de 2013 19:19, Ennius Lima <enn...@bol.com.br> escreveu: > >> Caros Colegas, >> >> Sendo a, b, m e n inteiros positivos tais que a1/m e b1/n são >> irracionais, como podemos provar que a soma a1/m + b1/n também é >> irracional? >> >> Abraços do Ennius! >> ______________________________________ >>  >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > > > -- > /**************************************/ > 神が祝福 > > Torres > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
